Cono Sur 2006 P6
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Cono Sur 2006 P6
El plano se divide en casillas cuadradas de lado $1$ mediante rectas paralelas a los ejes coordenados. Cada casilla está coloreada de blanco o de negro. Cada segundo se recolorean simultánamente todas las casillas, de acuerdo con la siguiente regla: Cada casilla $Q$ adopta el color que más aparece en la configuración de cinco casillas que indica la figura.
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & x & \\ \hline & Q & x \\ \hline & & x \\ \hline \end{array}
El proceso de recoloración se repite indefinidamente.
a) Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal que siempre haya al menos una casilla negra, no importa cuántos segundos hayan transcurrido desde que se inició el proceso.
b) Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal que el número de casillas negras al cabo de alguna cantidad de segundos sea por lo menos $10^{10}$ veces mayor que el número inicial de casillas negras.
\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & x & \\ \hline & Q & x \\ \hline & & x \\ \hline \end{array}
El proceso de recoloración se repite indefinidamente.
a) Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal que siempre haya al menos una casilla negra, no importa cuántos segundos hayan transcurrido desde que se inició el proceso.
b) Determinar si existe una coloración inicial con una cantidad finita de casillas negras tal que el número de casillas negras al cabo de alguna cantidad de segundos sea por lo menos $10^{10}$ veces mayor que el número inicial de casillas negras.