Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

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Matías V5

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Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 02 Ago, 2018 9:13 pm

Un collar tiene $840$ perlas, cada una de ellas de uno de los colores negro, verde o azul. En cada paso se reemplaza simultáneamente cada perla por una nueva perla, con el color de la nueva perla determinado de la siguiente manera: Si las dos perlas vecinas de la perla original eran del mismo color, la nueva perla lleva ese color. Si las dos perlas vecinas de la perla original eran de distinto color, la nueva perla es del tercer color.
  1. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía la mitad de las perlas verdes y la otra mitad, negras?
  2. ¿Existe algún collar que se pueda transformar con estos pasos en un collar de perlas azules si al comienzo tenía $700$ perlas negras y el resto verdes?
  3. ¿Es posible transformar un collar con exactamente dos perlas adyacentes negras y $838$ perlas azules en un collar de una perla verde y $839$ perlas azules?
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 02 Ago, 2018 10:17 pm

c)
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Pensamos las perlas como vértices de un polígono regular de $840$ lados. Trazamos la mediatriz $g$ del segmento que une los dos vértices negros. Luego, el polígono es simétrico respecto de $g$, y después de cada paso la simetría se mantiene. En particular la cantidad de vértices verdes es invariante módulo $2$, entonces siempre será $0$. Por lo tanto, es imposible lograr el objetivo.
[math]

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Matigelp97

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Matigelp97 » Vie 03 Ago, 2018 12:19 am

b)
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Vamos a demostrar que no se puede.
Como primer paso veamos los colores como congruencia módulo 3.
$Negro \equiv 1 mod(3)$
$Verde \equiv 2 mod(3)$
$Azul \equiv 0 mod(3)$
Vamos a demostrar que la congruencia módulo 3 de la suma de todos los números es invariante.
Numeramos a las perlas como $a_1, a_2, … , a_{840}$, y llamamos a las que aparecerán en el turno siguiente $b_1,b_2, … , b_{840}$
Llamemos $a_n$ y $a_{n+2}$ a los padres de $b_{n+1}$
Notemos que no importa cuando valgan $a_n$ y $a_{n+2}$, siempre tendremos que:
$a_n+a_{n+2}+b_{n+1} \equiv 0$ $ mod(3)$
Esto se puede ver sencillamente viendo caso por caso. Como ejemplo pongamos que:
Si $a_n=Negro$ y $a_{n+2}=Negro$, entonces $b_{n+1}=Negro$ y $ 1+1+1 \equiv 0$ $ mod(3)$
Si $a_n=Negro$ y $a_{n+2}=Verde$, entonces $b_{n+1}=Azul$ y $ 1+2+0 \equiv 0$ $ mod(3)$
Ahora bien, veamos que entonces se cumple que:
$a_{840}+a_2+b_1 \equiv 0mod(3)$
$a_{1}+a_3+b_2 \equiv 0mod(3)$
.
.
.
$a_{839}+a_1+b_{840} \equiv 0mod(3)$
Finalmente, si sumamos todos, y tenemos en cuenta que casa perla es padre de dos hijos, obtenemos que:
$2.(a_1+a_2+a_3+\dots + a_{839}+a_{840})+(b_1+b_2+\dots + b_{840})\equiv 0mod(3)$
Y como en un principio pasa que:
$a_1+a_2+a_3+\dots + a_{839}+a_{840} \equiv 2 mod(3)$, entonces:
$2.(a_1+a_2+a_3+\dots + a_{839}+a_{840}) \equiv 1mod(3)$, por lo que obtenemos que:
$(b_1+b_2+\dots + b_{840})\equiv 2mod(3)$
Finalmente, vemos que la suma de todos los números no varía su congruencia módulo 3, por lo que será imposible cumplir el objetivo dado que tener todas perlas $Azules$ implica que su suma sea múltiplo de 3.

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Joacoini

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Re: Selectivo de Ibero 2018 - Problema 1

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 03 Ago, 2018 7:17 am

a)
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Pintas 2 verdes, 2 negras, 2 verdes, 2 negras y así, notar que esto se puede porque $840$ es múltiplo de 4. En el primer paso cada perla tiene una verde a un lado y negra al otro por lo que se vuelven todas azules.
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NO HAY ANÁLISIS.

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