Entrenamiento Cono 2018 P22

Matías

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Entrenamiento Cono 2018 P22

Mensaje sin leer por Matías » Sab 11 Ago, 2018 4:45 pm

Sean $m$, $n$ enteros positivos. El centro de Guayaquil está bien planificado y tiene una forma de cuadrícula de lados $m$ (sentido este-oeste) y $n$ (sentido norte-sur), dividida en cuadrados de lado $1$ y sus lados son paralelos a las direcciones cardinales. Danielle vive en el vértice noroeste y Rebeca vive en el vértice sureste. Danielle decide ir a visitar a Rebeca y Rebeca decide ir a visitar a Danielle y ambas salen de su casa al mismo tiempo. Ambas manejan por las calles con rapidez constante y buscan llegar a su destino recorriendo el menor camino. Si se encuentran en el camino, es decir en el mismo punto, ellas se detienen.
a) Hallar en cuántos puntos es posible que se encuentren.
b) ¿De cuántas maneras es posible que ellas se encuentren en el camino?

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Violeta

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P22

Mensaje sin leer por Violeta » Sab 11 Ago, 2018 9:15 pm

Spoiler: mostrar
Primero notamos que Danielle, como trata de llegar con el menor camino posible, solo se mueve hacia abajo y hacia la derecha. De la misma manera, Rebecca solo se mueve hacia arriba y hacia la izquierda. Ahora, digamos que encuentran en cierto punto. Entonces, el largo total del recorrido de entre Rebecca y Danielle es $m+n$ y como las trayectoria de ambas tienen el mismo largo, tienen distancia de $\frac{m+n}{2}$

Es facil que todos los puntos con distancia $\frac{m+n}{2}$al vertice noroeste de Guayaquil (que tambien tiene distancia $\frac{m+n}{2}$ al vertices sureste, la distancia aqui siendo definida como la distancia si solo recorremos aristas de los cuadritos) son posibles puntos de encuentro.

Pero entonces, notamos que cualquier reccorido de la esquina noroeste a la esquina sureste, yendo solo a la derecha y a abajo, toca exactamente un punto con distancia $\frac{m+n}{2}$. Ademas, cualquier recorrido en que Rebecca y Danielle se encuentren corresponde a exactamente un recorrido de noroeste a sureste yendo solo a la derecha y a abajo. Esto es, para cada uno de los caminos de tal forma (porque me canse de copiarlo), hay un solo recorrido entre Rebecca y Danielle correspondiente. Entonces, hay $\binom{m+n}{m}$ tales recorridos.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P22

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 11 Ago, 2018 10:04 pm

Una pregunta ¿Qué pasaría si ambas viajan con rapidez constante pero distinta? (Por ejemplo, Rebeca viaja con rapidez $1$ y Danielle con rapidez $2$)
El enunciado dice que viajan con rapidez constante, pero nunca dice que sea la misma.
Igual aclaro que en mi opinión es lo que más sentido tiene, ya que si no se podrían encontrar en cualquier punto de la grilla (quizás incluso siendo un poco extremos una de ellas podría viajar con rapidez $0$) y el problema sería una gran suma de números combinatorios.
[math]

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Violeta

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P22

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 12 Ago, 2018 7:42 am

Igual, si la rapidez de Danielle es $D$ y la distancia de Rebecca es $R$, si se encuentran, el largo del recorrido de Danielle sería
Spoiler: mostrar
$\frac{D(m+n)}{R+D}$
y todos los puntos con esa distancia funcionan.

Creo que el problema asume que $m,n,D,R$ son fijos. De todos modos, la segunda parte no cambia.
1  
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

Matías

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Re: Entrenamiento Cono 2018 P22

Mensaje sin leer por Matías » Dom 12 Ago, 2018 8:53 am

Violeta fijate que pide en cuántos puntos es posible que se encuentren.

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