ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 3 - P9

Nando
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ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 3 - P9

Mensaje sin leer por Nando » Mié 10 Oct, 2018 5:40 pm

Sea $A = \{1, 2, 3,\ldots ,10\}$. ¿Cuántas funciones $f : A \rightarrow A$ cumplen que $f(xy) = f(x)f(y)$, para
todas las parejas $(x, y)$ de elementos de $A$ que cumplen la condición $x \cdot y \leq 10$?
Aclaración: Algunas parejas $(x, y)$ de elementos de $A$ que cumplen la condición del enunciado
son $(1,1)$ y $(3,2)$.

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enigma1234

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Re: ONEM 2015 - Fase 3 - Nivel 3 - P9

Mensaje sin leer por enigma1234 » Mar 16 Oct, 2018 5:19 pm

Spoiler: mostrar
Con $ (1,1)$ tenemos que $f (1)=1$.Sea $f (2)=x,f (3)=z,f (5)=w,f (7)=t $ de esto $f (4)=x^2,f (6)=xy,f (8)=x^3,f (9)=y^2,f (10)=xw $ de esto $x^3,y^2\leq 10\to x=1$ o $ x=2$, $y=1,2,3$.Entonces el valor de $f(4), f (6),f (8)$ siempre es menor que 10. Como $f (7) $ no afecta a los demás podemos escoger cualquier valor entre 1 y 10 para $t $ y no afecta.
Entonces tenemos que con esas restricciones solo nos falta ver que cumpla $f (5)$ y $f (10) $
Caso 1$:x=2$
Entonces $z\leq 5$ y de esto ya tenemos que cualquiera con estas condiciones cumple. Entonces aquí hay $3.5.10=150$ funciones.
Caso 1$:x=1$
Entonces $z\leq 10$ y de esto ya tenemos que cualquiera con estas condiciones cumple. Entonces aquí hay $3.10.10=300$ funciones.
Por lo tanto hay 450 funciones.

One in a millon...my lucky strike! :D

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