Se tiene $10$ monedas en una fila, donde cada una tiene cara y sello. Al inicio las $10$ monedas muestran el sello. Una operación consiste en escoger dos monedas adyacentes que muestren lo mismo (ambas caras o ambas sellos) y voltearlas. Determine cuántas configuraciones diferentes se puede obtener, luego de algunas operaciones.
Primero, sean $S(A)$ y $S(B)$ las sumas de la cantidad de monedas que muestran $A$ y $B$ respectivamente.
Si $2$ monedas adyacentes $WLOG$ muestran $AA$ y pasan a mostrar $BB$ entonces $S(A)$ y $S(B)$ pasan a ser $S(A)-2$ y $S(B)+2$. Esto se traduce en que ambas sumas no cambian de paridad y como una comienza siendo $10$ y la otra $0$, ambas son siempre pares.
Luego, supongamos que el sello tiene un valor de $0$ y la cara de $1$. Sean $S_i$ y $S_p$ las sumas de los valores en posiciones impares y pares respectivamente. Veamos que la cantidad $S_i - S_p$ tampoco cambia:
Esto se debe a que la operación al aplicarse en posiciones adyacentes siempre se aplica en un lugar impar y otro par.
Luego si $00$ pasa a $11$ ahora la resta es $(S_i + 1) - (S_p + 1) = S_i - S_p$. Y para el caso de $11$ a $00$ es lo mismo.
Como la configuración inicial es $00...0$, $S_i - S_p = 0$ y $S_i = S_p$
Por último antes de empezar a contar, la cantidad de configuraciones con $S(0) = a$ y $S(1) = b$ es igual a la cantidad de configuraciones con $S(0) = b$ y $S(1) = a$. Esto debido a que si conseguimos cierta configuración aplicando las operaciones en un comienzo con $00...0$ conseguiremos lo mismo pero invertido empezando con $11...1$, esto se puede conseguir reemplazando todos los $5$ pares $00$ por $11$.
Ahora solo nos queda:
Casos $S(0)=10$:
Es $1$
Casos $S(0) = 8$
Supongamos que queremos llegar a un final con un $1$ en posición impar y otro en posición par. Para ello tomamos todas las posiciones entre medio de estas, incluyéndolas. Es claro que la cantidad de lugares en este espacio es par, así que reemplazamos todas ellas de $00$ a $11$. Ahora, tomamos todas las posiciones entre medio de los extremos, sin incluirlos (con cantidad de lugares también par) y pasamos de $11$ a $00$, consiguiendo así lo que queríamos, extremos con $1’s$.
Luego la cantidad de configuraciones es $5^2$.
Casos $S(0) = 6$
Para este caso hacemos exactamente el mismo proceso que en el caso anterior. Pero las posiciones de los $1$ pueden ser:
$IPIP$ o lo que es lo mismo $PIPI$
$IIPP$ o lo que es lo mismo $PPII$
($P$ es par e $I$ impar)
Para el primer caso aplicamos la anterior operación en cada pareja $IP$ por separado y lo tenemos.
Para el segundo, aplicamos la operación en la pareja $IP$ de los extremos, dejando todos $0...0$ en el medio para poder aplicarla ahora en la pareja $IP$ del interior.
Logrando así que las configuraciones sean $\begin{equation}
{5 \choose 2}
\end{equation}^2$
Ahora el resultado es $2(1 + 5^2 + \begin{equation}
{5 \choose 2}
\end{equation}^2) = 252$
