Rioplatense 2018 - N1 P1

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Gianni De Rico

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Rioplatense 2018 - N1 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 06 Dic, 2018 7:10 am

Se tienen $13$ pesas, todas de colores distintos, y una balanza de dos platos.
Ana y Beto saben que las pesas son de $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$, $10$, $11$, $12$ y $13$ gramos, pero solamente Ana sabe qué color le corresponde a cada peso.
Una operación consiste en colocar pesas en cada plato de manera que la balanza quede equilibrada.
Ana quiere realizar una serie de operaciones que permitan que Beto, viendo lo que ella hace, determine con certeza el color de la pesa de $1$ gramo.
¿Cuál es la mínima cantidad de operaciones que debe hacer Ana para lograr su objetivo?
Decir cuáles son esas operaciones y cómo hace Beto para determinar el color de la pesa de $1$ gramo.
Explicar por qué no puede lograrlo con menos operaciones.

Nota: La balanza de dos platos se equilibra cuando el peso total de los objetos colocados en cada plato es el mismo.
[math]

BrunZo

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Re: Rioplatense 2018 - N1 P1

Mensaje sin leer por BrunZo » Mié 20 Mar, 2019 6:36 pm

Vamos a dividir la solución en dos partes:

Posible estrategia:
Spoiler: mostrar
Digo que el mínimo de operaciones es $2$. El siguiente es un ejemplo de procedimiento para $2$ operaciones:
Ana pone $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$ en un plato y $11$, $12$, $13$ en el otro.
Beto sabe que el peso en cada plato deberá ser mayor a $1+2+3+\cdots+8=36$ (ya que las $8$ pesas del plato izquierdo pesan $36$ como mínimo) y menor a $11+12+13=36$ (ya que las $3$ pesas del derecho pesan $36$ como mucho), de modo que, puede saber con certeza que todas las pesas $\{1,2,3,...,8,11,12,13\}$ fueron puestas. Entonces, sabe que las dos pesas no puestas fueron $9$, $10$.
Ahora, Ana pone $1$, $9$ en un plato y $10$ en el otro.
Beto sabe que en el plato izquierdo debe ir el $9$ (de estar el $9$ a la derecha, tendríamos $x+10=9$, lo cual es absurdo para $x$ natural). Entonces, el $10$ debe ir a la derecha (si no, tendríamos $9+10=x$, lo cual es absurdo para $x\leq 13$). De este modo sabe que $x+9=10\Longleftrightarrow x=1$ y estamos.
Prueba de minimalidad:
Spoiler: mostrar
Entonces, debemos demostrar que no es posible con $1$ operación. Sabemos que si el $1$ estuviese en alguna ubicación (un plato o afuera) con algún otro número $x$, estos serían indiferenciables, en el sentido de que podríamos reemplazar $(1,x)$ por $(x,1)$ y todo seguiría funcionando. Claramente no puede estar sólo en un plato y la balanza equilibrarse. Entonces sabemos que el $1$ está afuera, de modo que cada plato suma $45$.
Si el $2$ y el $3$ estuviesen en platos distintos, reemplazamos $(1,2,3)$ por $(3,1,2)$ y todo sigue funcionando igual, con el $1$ no afuera. Razonamientos similares para $3$ y $5$, $4$ y $7$, $5$ y $9$, $6$ y $11$, $7$ y $13$, nos llevan a que
$2$, $3$, $5$, $9$ están en el mismo plato. $4$, $7$, $13$ también. Y $6$, $11$ también. (Sobran $8$, $10$ y $12$)
Las sumas de estos grupos son $19$, $24$ y $17$, respectivamente.
Si el primero y el segundo estuviesen en el mismo plato, tendríamos una suma de $43$, y no podemos llegar al $45$.
Si el primero y el tercero estuviesen en el mismo plato, tendríamos una suma de $36$, lo mismo.
Si el segundo y el tercero estuviesen en el mismo plato, tendríamos una suma de $41$, lo mismo.
O sea, no podemos colocar los grupos dentro de los dos platos para que todo ande bien, de modo que ciertamente no vamos a poder locaclizar el $1$ con certeza, como queríamos demostrar.

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