OMCC 2019 - P6

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Gianni De Rico

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OMCC 2019 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Un triminó es una ficha rectangular de $1\times 3$.
¿Es posible cubrir un tablero cuadrado de $8\times 8$ con $21$ triminós, de modo que quede exactamente un cuadradito de $1\times 1$ sin cubrir? En caso afirmativo, determine todas las posiciones posibles en el tablero del cuadradito que queda sin cubrir.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Gianni De Rico

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Re: OMCC 2019 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Solución:
Spoiler: mostrar
Pintamos dos veces el tablero:
OMCC 2019 P6 coloraciones.png

En ambos casos, cada triminó cubre exactamente una casilla de cada color, y al haber $22$ casillas rojas, $21$ verdes y $21$ blancas, la única casilla que puede quedar sin cubrir debe ser roja. Luego, las únicas casillas que pueden quedar sin cubrir deben estar pintadas de rojo en ambos tableros, es decir, son las que están pintadas de rojo en el siguiente tablero:
OMCC 2019 P6 casillas rojas.png

Veamos que podemos dejar una de ellas sin cubrir, las otras tres se obtienen rotando el tablero:
OMCC 2019 P6 ejemplo.png
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Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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