Zonal N3 P2 2019

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Joacoini

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Zonal N3 P2 2019

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 28 Jun, 2019 10:30 pm

En un asado se encuentran varias familias, cada una de ellas formadas por un padre, una madre y algunos hijos. Cada familia tiene por lo menos un hijo pero no más de $10$ hijos. Los organizadores quieren elegir un hijo, un padre y una madre, todos de distintas familias, para darles un regalo. Hay $3630$ maneras de formar estos tríos. Calcular la cantidad total de niños y la cantidad total de familias que hay en el asado.
NO HAY ANÁLISIS.

Lautaro Saba
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Re: Zonal N3 P2 2019

Mensaje sin leer por Lautaro Saba » Sab 29 Jun, 2019 12:30 pm

Spoiler: mostrar
llamemos $N$ al numero de familias, cada madre puede hacer pareja con todos los padres menos el de su familia, es decir cada madre pertenece a $N-1$ parejas
como hay $N$ numero de madres, entonces tenemos $N(N-1)$ parejas de padres.
cada niño puede pertenecer a todas las parejas menos las que contienen a su madre y a su padre, es decir
$$N(N-1)-(N-1)-(N-1)=N(N-1)-2(N-1)=(N-1)(N-2)$$
sabemos que el mínimo de niños es $N$, pero también puede haber hasta $10N$ de ellos. por lo tanto escribimos la ecuación
$$(N+A)(N-1)(N-2)=N(N-1)(N-2)+A(N-1)(N-2)=3630$$ $$0\leq A\leq9N$$
de esta forma solo debemos probar con unos pocos $N$ y llegamos a que
$$(12+21)(12-1)(12-2)=3630$$
donde el numero de familias es $12$ y el numero de niños es $33$.

Lautaro Saba
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Re: Zonal N3 P2 2019

Mensaje sin leer por Lautaro Saba » Sab 29 Jun, 2019 2:17 pm

Lautaro Saba escribió:
Sab 29 Jun, 2019 12:30 pm
Spoiler: mostrar
llamemos $N$ al numero de familias, cada madre puede hacer pareja con todos los padres menos el de su familia, es decir cada madre pertenece a $N-1$ parejas
como hay $N$ numero de madres, entonces tenemos $N(N-1)$ parejas de padres.
cada niño puede pertenecer a todas las parejas menos las que contienen a su madre y a su padre, es decir
$$N(N-1)-(N-1)-(N-1)=N(N-1)-2(N-1)=(N-1)(N-2)$$
sabemos que el mínimo de niños es $N$, pero también puede haber hasta $10N$ de ellos. por lo tanto escribimos la ecuación
$$(N+A)(N-1)(N-2)=N(N-1)(N-2)+A(N-1)(N-2)=3630$$ $$0\leq A\leq9N$$
de esta forma solo debemos probar con unos pocos $N$ y llegamos a que
$$(12+21)(12-1)(12-2)=3630$$
donde el numero de familias es $12$ y el numero de niños es $33$.
me dí cuenta que no es necesario probar con tantos números
Spoiler: mostrar
tenemos
$$(N+A)(N-1)(N-2)=3630$$ $$N+A=\frac{3630}{(N-1)(N-2)}$$
solo es necesario buscar dos números consecutivos que dividan a 3630, lo cual es mas fácil sabiendo su descomposición en primos

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