Zonal N1 P2 2019

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Joacoini

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Zonal N1 P2 2019

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 28 Jun, 2019 11:43 pm

Bruno escribió la lista de todos los números enteros positivos de cuatro dígitos tales que al multiplicar sus cuatro dígitos el resultado es igual a $48$. Determinar cuántos números tiene la lista de Bruno.
ACLARACIÓN: Los números pueden tener dígitos repetidos. Por ejemplo, $1434$ está en la lista porque $1.4.3.4=48$.
NO HAY ANÁLISIS.

Martín Lupin
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Re: Zonal N1 P2 2019

Mensaje sin leer por Martín Lupin » Sab 29 Jun, 2019 12:50 pm

Spoiler: mostrar
Primero se deben obtener todos los conjuntos de cuatro elementos, tales que cada uno de los elementos esté formado solo por un dígito y que su producto sea igual a $48$.
Ningún conjunto puede tener tres $1$s, por que en caso contrario el cuarto elemento sería $48$ lo cual es imposible.
Si tiene dos $1$s, entonces el único conjunto posible es $\{1, 1, 6, 8\}$, el cual tiene $\frac{4!}{2!}=12$ permutaciones distintas.
Si tiene un $1$, entonces los conjuntos posibles son $\{1, 2, 3, 8\}$, $\{1, 2, 4, 6\}$ y $\{1, 3, 4, 4\}$ y tienen, respectivamente, $24$, $24$ y $12$ permutaciones distintas.
Si no tiene $1$s, entonces los conjuntos posibles son $\{2, 2, 2, 6\}$ (el cual tiene $4$ permutaciones distintas), y $\{2, 2, 3, 4\}$ (el cual tiene 12 permutaciones distintas).
Entonces la lista de Bruno tiene $12+24+24+12+4+12=\boxed{88}$ números.

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