Problema 1 Provincial OMA Nivel 1 2007

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Turko Arias

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Problema 1 Provincial OMA Nivel 1 2007

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 30 Jun, 2019 3:41 am

Decidir si es posible armar un rectángulo de $39 \times 44$ sin huecos ni superposiciones, usando exclusivamente piezas rectangulares de $5 \times 11$. ¿Y si el rectángulo que se quiere armar es de $42 \times 55$? ¿Y si es de $39 \times 44$?
En casa caso, si la respuesta es afirmativa, dar un ejemplo y en caso contrario, explicar por qué.
Aclaración: En todos los casos está permitido girar las piezas.

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1000i Elizalde

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Re: Problema 1 Provincial OMA Nivel 1 2007

Mensaje sin leer por 1000i Elizalde » Dom 30 Jun, 2019 3:50 am

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Tenemos que formar la medida de cada lado de los rectángulos con fichas de lado $11$ y $5$.

Para el rectángulo de $39 \times 44$ , vamos a probar que no se puede formar $39$ sumando reiteradas veces $5$ y $11$.
$39-11=28$, como $28$ no es múltiplo de $5$ le restamos $11$ de vuelta: $28-11=17$, como $17$ tampoco es múltiplo de $5$ le volvemos a restar $11$:$17-11=6$, $6$ no es múltiplo de $5$ y como es menor a $11$ ya no le podemos restar nada.
Ya que en los resultados que vamos teniendo no aparece ningún múltiplo de $5$, el $39$ tampoco lo es y el $39$ no se puede formar sumando varias vece el $11$, llegamos a que el rectángulo de $39 \times 44$ no se puede formar.

Para el rectángulo $39 \times 55$, como ya sabemos que el $39$ no se puede formar (como lo vimos para el caso del rectángulo de $39 \times 44$), no es posible armarlo.

Para el rectángulo $42 \times 55$, mostramos un ejemplo de como cubrir el rectángulo.
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Turko Arias

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Re: Problema 1 Provincial OMA Nivel 1 2007

Mensaje sin leer por Turko Arias » Dom 30 Jun, 2019 4:15 am

Esta solución es como tirar los platos a la basura porque no tenés ganas de lavarlos, pero bueno... Una solución es una solución :lol: :lol: :lol:
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Por el Teorema de Chicken McNuggets notamos que $39=5.11-5-11$ no puede ser formado como suma de múltiplos de $5$ y $11$ (y de yapa es el número más grande con esta propiedad), luego el primer y el tercer caso quedan descartados, y el ejemplo del segundo caso es el de @1000i Elizalde así que ya estamos :D :D :D
Última edición por Turko Arias el Dom 30 Jun, 2019 5:05 pm, editado 1 vez en total.

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Gianni De Rico

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Re: Problema 1 Provincial OMA Nivel 1 2007

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 30 Jun, 2019 11:05 am

[math]

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