Entrenamiento Ibero 2019 P2

Matías

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Entrenamiento Ibero 2019 P2

Mensaje sin leer por Matías » Jue 12 Sep, 2019 2:31 pm

Antonio y María juegan el siguiente juego: María elige $n$ números reales $a_1>a_2>\ldots>a_n>0$. Luego marca en el plano los puntos
$$(0,a_1),(1,a_1),(1,a_2),(2,a_2),\ldots,(n-1,a_{n-1}),(n-1,a_n),(n,a_n),(n,0)$$
y los une en ese orden para formar una escalera. Sea $R$ el área que forma la escalera acotada por los ejes coordenados. A continuación, Antonio elige un punto $(x,y)$ debajo de la escalera, es decir, con $y\leq a_{\lceil x\rceil}$, y dibuja un rectángulo con vértices $(0,0)$, $(x,0)$, $(x,y)$, $(0,y)$ de área $A$. El objetivo de Antonio es conseguir un rectángulo tal que el cociente $\frac{A}{R}$ sea lo mayor posible. El objetivo de María es que el cociente $\frac{A}{R}$ que pueda lograr Antonio sea lo menor posible. ¿Cuál es el valor óptimo que cada jugador puede asegurarse, y cuál es la estrategia que ha de seguir cada uno de ellos para lograrlo?

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