Regional 2019 - N1 - P2

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AgusBarreto

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Regional 2019 - N1 - P2

Mensaje sin leer por AgusBarreto » Jue 12 Sep, 2019 5:58 pm

Sea $A$ el conjunto de todos los números enteros desde $1$ hasta $300$ inclusive. Consideramos todos los tríos que se pueden formar utilizando tres números distintos de $A$, y para cada trío, calculamos su suma. Determinar para cuántos de estos tríos la suma es múltiplo de $3$.

Santito
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Re: Regional 2019 - N1 - P2

Mensaje sin leer por Santito » Jue 12 Sep, 2019 7:57 pm

Spoiler: mostrar
Formas de que la suma tenga como resultado un múltiplo de tres:
1) Sumar tres números con resto 0 en la división por tres.
2) Sumar tres números con resto 1 en la división por tres.
3) Sumar tres números con resto 2 en la división por tres.
4) Sumar un número con resto 0 en la división por tres, un número con resto 1 en la división por tres y un número con resto 2 en la división por tres.

Casos 1, 2 y 3: 100x99x98 / 3x2x1
Caso 4: 100x100x100

Total: 3 (100x99x98 / 3x2x1) + 100x100x100 = 1485100

AugustTierra
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Re: Regional 2019 - N1 - P2

Mensaje sin leer por AugustTierra » Jue 12 Sep, 2019 10:24 pm

Desarrollo y respuesta:
Spoiler: mostrar

Consideremos X;Y;Z 3 números del conjunto A, tales que X+Y+Z es un múltiplo de 3, entonces, acá hay 2 posibilidades, o X≡Y (mod 3) y Y≡Z (mod 3), o X;Y;Z no son congruentes entre si.

Si X;Y;Z son congruentes entre si, entonces:

((300/3) nCr 3) x 3 = 485.100 posibilidades

El 300 es por la cantidad de números total del conjunto A

El primer 3 por la cantidad de conjuntos que hay que todos son congruentes entre si, es decir, el 1;4;7 son congruentes y todos los demás, sumados 3 también, ya que dividido por 3, dejan resto 1

El segundo 3, por la cantidad de números del conjunto anterior que hay que elegir

Y el tercer 3, igual que el del primero

Si X;Y;Z no son congruentes entre si, entonces:

-Consideramos X un numero del conjunto A, tal que su resto, dividido por 3, da 0, entonces, entre 1 y 300 hay 100 números que satisfacen a X
-Consideramos Y un numero del conjunto A, tal que su resto, dividido por 3, da 1, entonces, entre 1 y 300 hay 100 números que satisfacen a Y
-Consideramos Z un numero del conjunto A, tal que su resto, dividido por 3, da 2, entonces, entre 1 y 300 hay 100 números que satisfacen a Z

Entonces las variaciones que se pueden encontrar en esta posibilidad serian 100x100x100 = 1.000.000

Ahora lo único que nos queda es sumar ambas posibilidades, entonces:

1.000.000 + 485.100 = 1.485.100

Entonces, 1.485.100 tríos son múltiplos de 3
Respuesta:
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1.485.100
Comentarios sobre la resolución:
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Aunque los temas que se usan en el desarrollo, en especifico, congruencias y combinaciones, no forman parte de temas que se ven en primer nivel, la verdad, es que yo, siendo de primer nivel, me ahorro un montón de tiempo saber estas 2 cosas, ya que aunque parezca difícil, es una pavada, y aunque seguramente halla algún que otro método que sea mas acorde a mi nivel, este fue el único que logre encontrar durante la prueba, ya que no se me ocurrió nada mas.
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