Regional 2019 - N2 - P1

LorenzoRD
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Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por LorenzoRD » Jue 12 Sep, 2019 8:11 pm

Santito escribió:
Jue 12 Sep, 2019 7:52 pm
LorenzoRD escribió:
Jue 12 Sep, 2019 6:17 pm
Me dio $165$, usando combinatoria.

La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$

En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.

Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.

Espero haberlo hecho bien
Spoiler: mostrar
Exactamente igual pero contaste de más en el caso de tres productos de dos primos.

Faltó dividir por 3! (si no estás contando 3! veces cada caso (porque los dos que elegís primero podrían ser los del medio o los últimos, es decir, ab . cd . ef = cd . ab . ef, por ejemplo).

Quedaría 15+60+15 = 90.
Gracias por la corrección. Cometí el error de pensar que si en el primer caso no había problemas de repetición, no los habría en los otros casos. ¿Creen que alcanza para un 1-, si el resto está bien justificado?

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NPCPepe
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Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por NPCPepe » Jue 12 Sep, 2019 8:39 pm

yo hice ((6!/(4!*2!))*1)+((6!/(3!*3!))*3)+((6!/(4!*2!))*7)+((6!/(5!*1!))*15) el 1 3 7 y 15 son las potencias de 2 menos 1 o sea los mutliplos esto daba 270 y lo tenia que dividir por 3 porque una de las variables podia "meterse" entre las otras 3, la cosa es que como el 270 me parecio demasiado grande le saque otros dos casos y me dio 75, yo puse la explicacion de la formula de arriba me pondran 0 o 1--?

Maxcapo10
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Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por Maxcapo10 » Jue 12 Sep, 2019 9:47 pm

Hola, yo lo que hice es ver cuantas combinaciones de primos se podía encontrar para cada cajita (a, b y c), es decir cuantas primos había multiplicados por cada cajita (los primos los obtuve al factorizar 30030)
Y me quedaron 5 combinaciones:
2a 2b 2c
2a 1b 3c
1a 1b 4c
1a 2b 3c
1a 3b 3c
Para cada distribución use distintos métodos para hallar la cantidad de tríos en cada caso, algunos mas teóricos y en otros el exhaustivo.
El problema es que a mi me quedaron 96 tríos, se me pasaron 6 casos. Opinan que me deberían dar 0 o -1?
PD: Esta todo según yo bastante bien justificado y explicado y para las combinaciones, me ayude de el triangulo de pascal no se si lo conocen pero esta buenísimo.

Sandy

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Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por Sandy » Jue 12 Sep, 2019 10:15 pm

Solución horrenda pero no se me ocurrió nada más lindo
Spoiler: mostrar
Es clave ver que $30030=2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13$ entonces cualesquiera números enteros mayores que $1$ cuyo producto sea $30030$ son distintos.
Luego tomemos una terna cualquiera $(x,y,z)$ tal que $xyz=30030$. Para cada $(x,y,z)$ hay $6$ permutaciones posibles, y sabemos que exactamente una de ésas nos sirve.
Más que una no puede haber que no sirva porque eso implicaría que haya dos números tales que $p>q$ y $q>p$. Además, sabemos que existe porque $x≠y≠z$. Luego, si encontramos todas las ternas $(x, y, z)$, dividimos esa cantidad por $6$ y estamos.

Entonces tenemos que dividir los primeros 6 primos entre 3 números, y que ninguno de éstos quede sin primos

Vos podés tener:
  • En dos números un primo y en el otro $4$ primos.
  • En un número $1$ primo, en otro $2$ primos y en el otro $3$ primos.
  • En los tres números $2$ primos
Nota pequeña:
Spoiler: mostrar
Si queremos contar permutaciones de $\alpha _1$ elementos iguales $\beta _1$, $\alpha _2$ elementos $\beta _2$, etc. en principio tenemos $(\sum \alpha _n)!$, pero al permutar dentro de los elementos iguales queda la misma permutación, luego hay que dividir por todas las permutaciones, es decir que queda $\frac{(\sum \alpha _n)!}{\Pi (\alpha _n !)}$
Entonces tenemos:
En el caso $1$ hay $\frac{(1+1+4)!}{1!\times 1!\times 4!}$ maneras de hacerlo, y como el $1$ está repetido dos veces y el $4$ sólo una vez, se pueden permutar de $\frac{(2+1)!}{2!\times 1!}$ maneras, es decir $30\times 3=90$

En el caso $2$ hay \frac{(1+2+3)!}{1!\times 2!\times 3!} maneras y, como cada número está una vez, se pueden permutar de $\frac{(1+1+1)!}{1!\times 1!\times 1!}$ maneras, es decir $60\times 6=360$

En el caso $3$ hay $\frac{(2+2+2)!}{2!\times 2!\times 2!}$ maneras y, como está el mismo número $3$ veces, se pueden permutar de $\frac{3!}{3!}$ maneras, es decir $90\times 1=90$

Luego la cantidad de ternas que nos interesan son $\frac{1}{6}$ de éstas, es decir

$\frac{90+360+90}{6}=90$

Fede garcia
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Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por Fede garcia » Vie 13 Sep, 2019 8:17 am

A mi me dio 70, alguien me puede decir que hice mal

juansovich
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Re: Regional 2019 - N2 - P1

Mensaje sin leer por juansovich » Vie 13 Sep, 2019 10:03 pm

MatiasFeueT escribió:
Jue 12 Sep, 2019 7:33 pm
A mi medio 255. Lo que no se si tuvieron en cuenta los que les dio 90 es el hecho de a, b y c podian ser negativos.
Decia que a tenia que ser mayor o igual a 2.

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