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Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 5:58 pm
por AgusBarreto
Determinar la cantidad de tríos $(a, b, c)$ de números enteros tales que $2\leq a <b<c$ y la multiplicación de los tres números es $30030$, es decir, $a \cdot b \cdot c =30030$.

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 6:17 pm
por LorenzoRD
Me dio $165$, usando combinatoria.

La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$

En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.

Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.

Espero haberlo hecho bien

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 6:58 pm
por loli1233
A mi me dio 90.

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 7:22 pm
por Monazo
Una solución que salió conjunto con el @Turko Arias, espero que la disfruten, porque nosotros no
Spoiler: mostrar
Primero notemos que $30030=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13$, en definitiva tenemos $6$ primos distintos.

Luego, pensamos a cada número de la terna como una cajita, y los primos van a parar en alguna de estas $3$ cajitas.
Es por eso que en un principio tenemos $3^6$ combinaciones, cada primo tiene $3$ posibilidades, ir a la cajita $1$, $2$ o $3$.
Pero acá estamos contando cosas que no deberíamos.
1) No estamos teniendo en cuenta el orden creciente que exige el problema.
2) Estamos contando casos en que alguna cajita quede vacía, y por lo tanto ese número sea $1$, y no cumple que sea mayor que $2$ como pide el enunciado.

Vamos a restar los casos del punto $2$.

Para ello dejamos una cajita libre y repartimos los $6$ primos en las restantes $2$ cajitas. He aquí que obtenemos $2^6$, pero como cualquiera de las $3$ cajitas puede tener $0$ primos, entonces tenemos $3\cdot 2^6$ combinaciones.

Pero hay un detalle más, dentro de ese $3\cdot 2^6$ estamos restando $2$ veces cada caso en que queden $2$ cajitas vacías y la otra con todos los primos. Como los casos son $1$ $1$ $30030$, $1$ $30030$ $1$, $30030$ $1$ $1$, y cada una la restamos $2$ veces, cuando debería ser una sola vez, obtenemos finalmente que la cantidad de combinaciones es:

$3^6-3\cdot 2^6 +3$

Finalmente, debido a que están ordenadas, debemos dividir por la cantidad de permutaciones que tiene cada una.

El resultado final es: $\frac{3^6-3\cdot 2^6 +3}{3!}=\frac{3^6-3\cdot 2^6 +3}{6}=90$



Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 7:29 pm
por Monazo
LorenzoRD escribió:
Jue 12 Sep, 2019 6:17 pm
Me dio $165$, usando combinatoria.

La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$

En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.

Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.

Espero haberlo hecho bien
Tu idea es correcta pero tenes un pequeño error, que es que cuando ves el caso de que cada número contenga $2$ primos. Tu error está en que estás contando cada caso $6$ veces. No estás teniendo en cuenta la condición de enunciado que dice que están ordenadas. Así que en esa cuenta, si la miras bien, estás contando las permutaciones, y no es lo que queremos.
Por lo tanto la solución es:

$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + \frac{{6\choose 2}{4\choose 2}}{6}$

$S = 15 + 60 + 15$

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 7:33 pm
por MatiasFeueT
A mi medio 255. Lo que no se si tuvieron en cuenta los que les dio 90 es el hecho de a, b y c podian ser negativos.

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 7:37 pm
por AgusBarreto
MatiasFeueT escribió:
Jue 12 Sep, 2019 7:33 pm
A mi medio 255. Lo que no se si tuvieron en cuenta los que les dio 90 es el hecho de a, b y c podian ser negativos.
¡Hola! Fijate que la condición $2\leq a < b < c$ hace que tengan que ser todos positivos.

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 7:39 pm
por CamiloAl1as
AgusBarreto escribió:
Jue 12 Sep, 2019 5:58 pm
Determinar la cantidad de tríos $(a, b, c)$ de números enteros tales que $2\leq a <b<c$ y la multiplicación de los tres números es $30030$, es decir, $a \cdot b \cdot c =30030$.
A mi me dio 51, nose que hice.

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 7:52 pm
por Santito
LorenzoRD escribió:
Jue 12 Sep, 2019 6:17 pm
Me dio $165$, usando combinatoria.

La ecuación a la que había llegado al final del ejercicio era:
$S = {6\choose 4} + {6\choose 3}{3\choose 2} + {6\choose 2}{4\choose 2}$
$S = 15 + 60 + 90$
$S = 165$

En sí, había tres casos (notemos que todos los divisores de $30030$ no están elevados a ninguna potencia).
Cuando multiplicábamos un producto de 4 primos por dos que eran primos.
Cuando multiplicábamos un producto de 3 primos por uno de 2 primos y uno primo.
Cuando multiplicábamos tres productos de dos primos.

Como $30030 = 2.3.5.7.11.13$, esos eran los primos a los que me refiero.

Espero haberlo hecho bien
Spoiler: mostrar
Exactamente igual pero contaste de más en el caso de tres productos de dos primos.

Faltó dividir por 3! (si no estás contando 3! veces cada caso (porque los dos que elegís primero podrían ser los del medio o los últimos, es decir, ab . cd . ef = cd . ab . ef, por ejemplo).

Quedaría 15+60+15 = 90.

Re: Regional 2019 - N2 - P1

Publicado: Jue 12 Sep, 2019 7:58 pm
por The_CastaT
yo lo pense asi:
me fije el minimo valor para a,podia ser hasta el 26 y luego fui probando para cada a los b y c. en total me dio 112. de todas formas no creo que este bien porque tendre un par de opciones de mas