Regional 2019 - N3 - P2

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AgusBarreto

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Mensaje sin leer por AgusBarreto » Jue 12 Sep, 2019 5:59 pm

Se hace la lista de los números enteros positivos que tienen la suma de sus dígitos igual a $2019$, ordenada de menor a mayor. Determinar qué número ocupa la posición $225$ de esta lista.

bmth2001
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Re: Regional 2019 - N3 - P2

Mensaje sin leer por bmth2001 » Jue 12 Sep, 2019 6:40 pm

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Me dió un número de 225 cifras, que empieza con "4" y termina con "8" (los otros 223 números son "9")

LailaR771
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Re: Regional 2019 - N3 - P2

Mensaje sin leer por LailaR771 » Jue 12 Sep, 2019 8:57 pm

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Lo pensé igual (4{223 n°9}8)

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Gianni De Rico

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Re: Regional 2019 - N3 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 12 Sep, 2019 10:55 pm

Solución conjunta con @FedeBe
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Sean $x_1<x_2<\ldots <x_n<\ldots$ los números de la lista. Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$. Vemos que si $n$ tiene $a$ dígitos, entonces $S(n)\leqslant 9a$, de donde si $S(n)=2019$, tenemos que $a\geqslant 225$.
Ahora, si un número $n$ de $225$ cifras tiene alguna cifra menor o igual a $2$, entonces $S(n)\leqslant 2018$, de donde al menos una cifra debe ser mayor o igual a $3$. Entonces $x_1=3\underbrace{99\ldots 99}_{224}$.
Tomemos algún $x_n$ que empieza con $4$ y tiene $225$ cifras, y supongamos que tiene a lo sumo $222$ cifras iguales a $9$. Luego, como $S(x_n)=2019$, entre las dos cifras restantes deben sumar $17$, por lo que al menos una debe ser $9$, por Palomar. Entonces $x_n$ tiene al menos $223$ cifras iguales a $9$, lo que contradice nuestra suposición. Luego, $x_n$ tiene al menos $223$ cifras iguales a $9$. Además, $x_n$ no puede tener $224$ cifras iguales a $9$, pues en ese caso se tiene $S(n)=2020$. Por lo tanto, $x_n$ empieza con $4$, tiene $223$ cifras iguales a $9$ y una cifra igual a $8$. Notemos que los números $48\underbrace{99\ldots 99}_{223}<498\underbrace{99\ldots 99}_{222}<\ldots <4\underbrace{99\ldots 99}_{223}8$ son $224$, pertenecen a $\{x_n\}$, y no hay ningún número de $\{x_n\}$ que empiece con $4$ que no sea uno de ellos; además, tampoco hay ninguno que empiece con $3$ y que sea distinto de $x_1$. Por lo tanto, $x_{225}=4\underbrace{99\ldots 99}_{223}8$.
[math]

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