Bono "Cenáculo"

Peznerd
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Bono "Cenáculo"

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 29 Nov, 2019 12:25 am

Siguiendo hablando de mi vida personal, aunque era ateo hice cenáculo el año pasado. Es un retiro espiritual muy lindo, con una importante psicología grupal y un entorno amigable en el que compartir tus problemas (esto último también lo encontré en Certamen Nacional las tres veces que pasé) por lo que lo recomiendo de corazón.
Entre sus mecánicas, en las varias comidas que hay cada uno no come siempre con las mismas personas, sino que van poniendo cartelitos con los nombres en las mesas de forma que más o menos a todos les haya tocado comer con todos al fin del retiro. Acá es donde me surgió el problema:

Hay $m$ mesas y $p$ personas en el cenáculo (con $m$ y $p$ enteros; $p$ es múltiplo de $m$ distinto de $0$), evento cuya duración es infinita. En cada comida, se distribuyen en cada mesa igual cantidad de personas. Si se dessea conocer la menor cantidad posible $U$ de comidas tales que absolutamente todas las personas hayan comido al menos $1$ vez con cada una de las otras personas en el evento, hallar $U$ para:
a) $m = 6$ y $p = 36$.
b) Todo $p$ múltiplo positivo de $6$ con $m=6$
c) Todos $p$ y $m$ con $p$ múltiplo distinto de $0$ del número $m$
Última edición por Peznerd el Vie 29 Nov, 2019 12:52 am, editado 1 vez en total.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

Peznerd
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Re: Bono "Cenáculo"

Mensaje sin leer por Peznerd » Vie 29 Nov, 2019 12:50 am

No lo pude resolver ni para $p = 36$ y $m=6$. Pero les tengo una pista:
Spoiler: mostrar
Siguiendo la perspectiva de una persona en particular, notemos que en cada comida comerá con $m-1$ personas por lo tanto se necesitará por lo menos $\lceil\frac{p-1}{m-1}\rceil$ comidas para satisfacer el problema, de donde $\lceil k \rceil$ denota la parte entera más una unidad del número $k$.
Segunda pista a ver si a alguien le sirve, la usé para el caso $m = 6$ y $p = 36$:
Spoiler: mostrar
Retomamos un poco la pista anterior. Sin pérdida de generalidad denotamos con las letras del abecedario y $m -1$ subíndices a las $p-1$ personas que no son la persona que rastreamos, de la siguiente forma: los que tienen la $n$-ésima letra del abecedario son los que comen en la $n$-ésima comida con la persona de referencia. Y para la última letra quizás son menos de $m-1$ los subíndices que usamos para diferenciarlas entre sí para una misma letra. Así para $m = 6$ y $p=36$ tenemos a las personas: la de referencia, $a_1, a_2, ..., a_5, b_1, b_2, ..., b_6, ..., e_1, e_2, ..., e_5$. Y desde ahí te las ingeniás para distribuir a los que no tienen la $n$-ésima letra en la $n$-ésima comida.
Un día vi una vaca sin cola vestida de uniforme

$$\int u \, dv=uv-\int v \, du\!$$

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