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Mateclubes 2019 - Nivel 1 - Problema 3

Publicado: Lun 02 Dic, 2019 11:24 am
por Monazo
Mario piensa dos números positivos que sumen $63$ y completa un tablero de una fila de $50$ casillas con esos números alternadamente. Por ejemplo, si elige los números $30$ y $33$, completa las primeras $7$ casillas así:$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
30 & 33 & 30 & 33 & 30 & 33 & 30 \\
\hline
\end{array}$$Luego busca rectángulos de casillas vecinas en el tablero de $50$ casillas y calcula la suma de los números en ese rectángulo (los rectángulos pueden abarcar cualquier cantidad de casillas). Por ejemplo, si elige en el ejemplo anterior el rectángulo que contiene las casillas $2$, $3$ y $4$, la suma de los números es $33+30+33=96$.
Por cada rectángulo que encuentra donde la suma de los números es un número terminado en $63$, Rafa tiene que darle a Mario un caramelo.

$a)$ ¿Qué números elige Mario si quiere recibir la mayor cantidad posible de caramelos? ¿Cuántos caramelos recibe?

$b)$ Ahora Rafa elige dos números positivos cualesquiera menores que $50$ (pueden no sumar $63$) y completa otro tablero de una fila de $50$ casillas con esos números alternadamente. Luego busca en el tablero rectángulos de casillas vecinas tales que la suma de los números en el rectángulo termine en $63$. Por cada rectángulo que encuentra, Mario tiene que darle a Rafa un caramelo.
Rafa quiere recibir más caramelos que los que le dio a Mario. ¿Qué números puede elegir? ¿Cuántos caramelos recibe?

Aclaración: Partes de los rectángulos pueden superponerse entre sí, por ejemplo un rectángulo puede abarcar las casillas $2$ y $3$, otro rectángulo las casillas $3$ y $4$ y otro rectángulo las casillas $2$, $3$, $4$ y $5$.