Sea $n$ un entero positivo. Determinar el menor valor posible de $n$ tal que para toda elección de $n$ números reales, existan dos de ellos $a$ y $b$ tales que:
$$0 < \frac{a-b}{1+ab} < \sqrt{2}-1.$$
Sean $\beta _1,\beta _2,\ldots ,\beta _n$ los reales de nuestro conjunto. Pero todo real puede ser escrito como la tangente de algún real $\alpha$ perteneciente a $\left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$. Reescribimos entonces a cada elemento como $\beta _i=\tan (\alpha _i)$, con los $\alpha _i$ pertenecientes todos a $\left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$. Pero acá es donde viene la magia de Disney... Recordando esas fórmulas trigonométricas que aprendimos en el colegio y que siempre creímos que no nos iban a servir para nada (?, notamos que $\tan (\alpha _i-\alpha _j)=\frac{\tan (\alpha _i)-\tan (\alpha _j)}{1+\tan (\alpha _i)\tan (\alpha _j)}$, que es literalmente lo que nos da el enunciado...
Ahora bien, partamos el intervalo $\left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$ en $8$ intervalos de longitud $\frac{\pi}{8}$. Notemos que si $n\geq 9$, por Palomar hay dos elementos $\alpha _i$ y $\alpha _j$ tales que ambos caen en el mismo intervalo. Sin pérdida de generalidad, $\alpha _i<\alpha _j$, por lo que tenemos que $0<\alpha _j-\alpha _i<\frac{1}{8}\pi$, y por ende, $0<\tan (\alpha _j-\alpha _i)<\tan \left (\frac{1}{8}\pi\right )=\sqrt{2}-1$. Luego, si $n\geq 9$ el enunciado se cumple.
Supongamos ahora que $n\leq 8$. Partimos ahora el intervalo $\left (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right )$ en $n$ intervalos de longitud $\frac{1}{n}\pi$ y consideramos como nuestros $\alpha _i$ a los puntos medios de cada intervalo. Como la longitud de cada intervalo es $\frac{1}{n}\pi \geq \frac{1}{8}\pi$, tenemos que si $\alpha _i<\alpha _j$ entonces $\alpha _j-\alpha _i\geq \frac{1}{8}\pi$ por lo que $\tan (\alpha _j-\alpha _i)\geq \tan \left (\frac{1}{8}\pi\right )=\sqrt{2}-1$, luego, el enunciado no se cumple y queda así demostrado que $n=9$ es la solución $\blacksquare$