Rioplatense 2009 N2 P3

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Joacoini

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Rioplatense 2009 N2 P3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Dic, 2019 6:17 pm

Se tienen $2009$ bolitas, algunas blancas y las otras, negras. Todas las bolitas de un mismo color deberían tener el mismo peso, las blancas más livianas que las negras. Sin embargo se sabe que hay exactamente una bolita con el color equivocado, o sea, tiene el peso de una bolita del otro color.
Demostrar que se la puede identificar mediante $7$ pesadas en una balanza de dos platos. (la balanza indica si los dos platos pesan lo mismo o cuál de los dos pesa más)
NO HAY ANÁLISIS.

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Joacoini

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Re: Rioplatense 2009 N2 P3

Mensaje sin leer por Joacoini » Mié 18 Dic, 2019 7:08 pm

Spoiler: mostrar
Como $2009<3^7$ si en cada pesada si la cantidad de bolitas que no sabemos si están bien pintadas ($x$) las reducimos a como mucho $\left \lceil \frac{x}{3} \right \rceil$ entones lo lograremos.

En cada paso haremos lo siguiente, si tenemos $3k$ bolitas de un color las separamos en $3$ grupos de $k$ bolitas, si tenemos $3k+1$ bolitas de un color las separamos en $2$ grupos de $k$ y uno de $k+1$ y si tenemos $3k+2$ bolitas de un color las separamos en $2$ grupos de $k+1$ y uno de $k$.

En el caso de que haya $3k+1$ de un color y $3n+1$ del otro separamos el primero como describimos antes y el segundo en dos grupos de $n+1$ y uno de $n-1$

Sea cual sea el caso tenemos dos grupos con la misma cantidad de bolitas, para ambos colores ponemos ponemos uno de estos dos grupos en un plato y el otro en el otro.

Ambos platos tienen la misma cantidad de blancas y de negras por lo que si se equilibran la que esta mal pintada esta entre las que no pesamos y esas son como mucho $\left \lceil \frac{x}{3} \right \rceil$ bolitas.

Si la balanza se desequilibra entonces la mal pintada puede estar entre las negras del plata más liviano o entre las blancas del plato más pesado, la combinación de estas dos dan como mucho $\left \lceil \frac{x}{3} \right \rceil$ bolitas.

Nota: El único caso en donde no tenes que hacer el procedimiento anterior es cuando te quedan una bolita de cada color, en ese caso comparas la blanca con una blanca que sepas que esta bien pintada y listo
NO HAY ANÁLISIS.

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