Rioplatense 2009 N2 P6

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Joacoini

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Rioplatense 2009 N2 P6

Mensaje sin leer por Joacoini » Mar 17 Dic, 2019 6:36 pm

Se tienen $4$ varillas verticales. En la varilla $1$ hay $2009$ CD’s de color $a$, en la varilla $2$ hay $2009$ CD’s de color $b$ y en la varilla $3$ hay $2009$ CD’s de color $c$, formando tres torres. La varilla $4$ está vacía.
La movida permitida es pasar el disco superior de una torre a otra varilla de modo que quede encima de los discos de esa torre, o pasarlo a una varilla vacía.
El objetivo es que queden $2009$ discos en la varilla $1$ con colores alternados $b,~c,~a,~b,~c,~a,\ldots$(de abajo hacia arriba), $2009$ discos en la varilla $2$ con colores alternados $c,~a,~b,~c,~a,~b,\ldots$ (de abajo hacia arriba) y $2009$ discos en la varilla $3$ con colores alternados $a,~b,~c,~a,~b,~c,\ldots$ (de abajo hacia arriba).
Mostrar cómo se puede lograr el objetivo en el menor número posible de movidas.
NO HAY ANÁLISIS.

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Joacoini

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Re: Rioplatense 2009 N2 P6

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 12 Ene, 2020 3:36 pm

Spoiler: mostrar
Al final en la varilla $1$ hay $669$ discos de color $a$ y $670$ de cada uno de los otros dos colores.

Como al final en la varilla $1$ el CD de más abajo no es de color $a$ tenemos que en algún momento vaciar la varilla $1$, lo mismo para la $2$ y la $3$.

WLOG la primera en vaciarse es la $1$, la segunda es la $2$ y al final la $3$.

Esto significa que al final, los discos que están en la varilla $3$ se debieron de haber movido dos veces (ya que todos los discos se movieron una vez cuando se vació la varilla $3$ y otra para ir a la varilla $3$), estos son al menos $2009\times 2$ movimientos.

Con la misma lógica, al final los discos de la varilla $2$ de color $a$ y $b$ se debieron haber movido al menos dos veces y los de color $c$ al menos una, estos son al menos $(669+670)\times 2+670$.

Y al final los discos de la varilla $1$ de color $a$ se debieron haber movido al menos dos veces y de los otros dos colores al menos una, estos son al menos $669\times 2+670+670$.

En total necesitamos al menos $10044$ movimientos y lo podemos lograr de la siguiente forma.

Pasamos todos los discos $a$ a la varilla $4$, luego completamos la varilla $1$ como queremos que quede, luego pasamos todos los discos $b$ de la varilla $2$ a la varilla $1$ y completamos la varilla $2$ como queremos que quede, luego pasamos todos los discos $c$ de la varilla $3$ a la $2$ y completamos la $c$ como queremos y listo.
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NO HAY ANÁLISIS.

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