OMEO 2018 N1 P1

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MateoCV

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OMEO 2018 N1 P1

Mensaje sin leer por MateoCV » Lun 29 Jun, 2020 10:44 pm

¿Es posible distribuir los números $1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2,8^2,9^2$ en las casillas de un tablero cuadrado de $3\times 3$ de forma que la suma de los números de cada fila sea la misma y la suma de los números de cada columna sea la misma? Si es posible, mostrar cómo puede hacerse. Si no es posible, explicar por qué.
$2^{82589933}-1$ es primo

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Dauphineg

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Re: OMEO 2018 N1 P1

Mensaje sin leer por Dauphineg » Mié 01 Jul, 2020 1:18 pm

Spoiler: mostrar
La suma de los números que se deben colocar en el tablero es $9.10.19.\frac{1}{6}=285$, si la suma de los números de las $3$ filas es la misma "$S$" y la suma de los números de las $3$ columnas es la misma "$S´$" , claramente será $S$=$S'$ ya que $285=3S=3S'$
Luego $S=95$, sabemos que todo cuadrado perfecto tiene resto $0$ o $1$ en la división por $4$, como el resto en la división por $4$ de $95$ es $3$ entonces en cada fila y en cada columna cada uno de los numero colocados deberá tener necesariamente resto $1$ en la división por $4$ (dado que en cualquier otro caso no se llegaría a que la suma de los $3$ tenga resto $3$ en la división por $4$), pero entonces todos los números deberían tener resto $1$ en la división $4$ y esto no es posible ya que los números $2^{2},4^{2},6^{2},8^{2}$ tienen resto $0$ en la división por $4$
No es posible tal distribución.

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