IMO 2021 - Problema 5

[Sandy]

Dos ardillas, Ardi y Dilla, han recolectado $2021$ nueces para el invierno. Ardi numera las nueces desde $1$ hasta $2021$, y excava $2021$ hoyos en el suelo en una disposición circular alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Ardi observa que Dilla ha colocado una nuez en cada hoyo, pero sin tener en cuenta la numeración. No contenta con esto, Ardi decide reordenar las nueces realizando una secuencia de $2021$ movimientos. En el $k$-ésimo movimiento Ardi intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez con el número $k$. Probar que existe un valor de $k$ tal que, en el $k$-ésimo movimiento, las nueces intercambiadas tienen números $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

[Sandy]

Solución:

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Miremos qué pasa con los parcitos de nueces consecutivas que ya fueron usadas (si es más claro, se puede pensar como que en el $k$-ésimo movimiento pintamos la nuez $k$).
Si $a,b>k$, entonces en el $k$-ésimo movimiento no cambia (pues los $a$-ésimo y $b$-ésimo movimientos no ocurrieron todavía).
De modo similar, si $a,b<k$, en el $k$-ésimo movimiento la cantidad de pares de nueces consecutivas usadas aumenta en $2$ (ya que los $a$-ésimo y $b$-ésimo movimientos ya ocurrieron).
Por último, si $a<k<b$, la cantidad de pares aumenta en $1$ (ya que el $a$-ésimo movimiento ocurrió pero el $b$-ésimo no).
En conclusión, la cantidad de pares de nueces consecutivas usadas cambia de paridad sólo cuando ocurre un intercambio como el descrito en el enunciado ($a<k<b$). Como al principio hay $0$ pares y al final $2021$, la paridad debe cambiar en algún momento, demostrando que debe haber un valor $k$ para el cual en el $k$-ésimo movimiento se cambien las nueces $a$ y $b$ con $a<k<b$