Selectivo Ibero 2021 - P6

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Gianni De Rico

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Selectivo Ibero 2021 - P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Se tiene un tablero de $2021\times 2021$. En cada casilla hay escrito un número entero impar. Sean $F_i$ la suma de los números de la fila $i$ y $C_j$ la suma de los números de la columna $j$, para todos $1\leq i,j\leq 2021$. Denotamos $A$ a la multiplicación de todos los $F_i$, y $B$ a la multiplicación de todos los $C_j$. Demostrar que $A+B$ es siempre distinto de $0$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Fran5

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Re: Selectivo Ibero 2021 - P6

Mensaje sin leer por Fran5 »

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Supongamos que $A = -B$. Notemos que tenemos $A,B$ impares, y en particular $A \equiv -B \pmod{4}$.

Supongamos que a un número del tablero le sumamos $2$. Luego aplicando la distributiva, a $A$ le sumamos $2$ veces el producto de las restantes filas, y a $B$ le sumamos el producto de las restantes columnas. Como les sumamos un número múltiplo de $2$ pero no de $4$, entonces tenemos que $A$ y $B$ cambian de paridad, y por tanto $A \equiv -B \pmod{4}$ se mantiene (tenemos una invariante!!)
Lo mismo pasa si restamos $2$.

Pero entonces podemos llevar todos los números a $1$, y obtener un tablero simétrico, con $A \equiv B \pmod{4}$. Absurdo!

Esto muestra que no podríamos haber tenido $A = -B$.
Más aún, $A+B$ no puede ser nunca un múltiplo de $4$.
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"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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