Nacional 2021 N2 P3

[Gianni De Rico]

Una circunferencia está dividida en $2n$ arcos iguales mediante $2n$ puntos. Hallar todos los $n>1$ tales que esos puntos se pueden unir de a dos utilizando $n$ segmentos, todos ellos de longitudes diferentes y de modo que cada punto sea extremo de exactamente un segmento.

[juan_bahia]

Alguna idea para este problema? Me tiene sin sueño hace días.
Pude verificar graficamente que se cumple para $n=4$ y $n=5$, me animo a suponer que vale para todo $n\geq4$ pero no se me ocurre cómo probarlo.

Cosas que vi mientras jugaba con el problema.
- Es necesario que cada segmento abarque $1,2,...,n$ arcos respectivamente para que midan diferente.
- Basicamente se reduce a buscar duplas entre $\{1,2,...,2n\}$ tales que la resta entre ellos (o en su defecto si la resta fuera $>n$, le resto a $n$ la diferencia de estos dos números, para encontrar la distancia mas cercana en la circunferencia que es la que sirve) genere los números desde $1,2,...,n$.
- También con los ejemplos de $n=4$ y $n=5$ me di cuenta que basta con encontrar una biyección entre $\{1,2,...,n\}$ y $\{n+1,n+2,...,2n\}$ que verifique igualmente lo de la diferencia entre los dos números.

De igual manera no llego a ningún lado.

[Fedex]

Solo la condición necesaria, faltarían los ejemplos que son jodidos.

Spoiler: mostrar

Le asignamos los valores $1, 2, …, 2n$ a los puntos en ronda, estos son seleccionados para armar $2$ conjuntos $a_1, a_2, …, a_n$ y $b_1, b_2, …, b_n$ con $n$ arcos de forma $(a_i,b_i) = s_i$ y de largo $l(s_i) \leq n$ donde $l(s_i) =|a_i - b_i|$ o $l(s_i) = 2n - |a_i - b_i|$.
Notemos que:
$$ 1 + 2 + … + n = l(s_1) + … + l(s_n) \equiv a_1 + … + a_n + b_1 + … + b_n = 1 + 2 + … + 2n \; (2)$$
$$ \frac{n(n+1)}{2} \equiv \frac{(2n)(2n+1)}{2} \; (2) \to n(n-1) \equiv 0 \; (4)$$
Que se satisface solo si $n \equiv 0, 1 \; (4)$.