Nacional 2021 N1 P4

[Gianni De Rico]

Martu quiere armar un juego de tarjetas con las siguientes propiedades:

• Cada tarjeta tiene escrito un número entero positivo.
• El número de cada tarjeta es igual a uno de $5$ números posibles.
• Si se toman dos tarjetas cualesquiera y se suman, siempre es posible encontrar otras dos tarjetas del juego tales que la suma sea la misma.

Determinar la menor cantidad de tarjetas que puede tener el juego de Martu y dar un ejemplo para esa cantidad.

[lola.m]

Si no es necesario que estén todos los $5$ números posibles solo necesito $4$ tarjetas: $2$ con un número y $2$ con otro. Pero supongamos que tienen que estar los $5$ números posibles:

Spoiler: mostrar

Para empezar, tenemos $5$ tarjetas con los números $A$, $B$, $C$, $D$ y $E$ con $A<B<C<D<E$.
Si tomamos las tarjetas $A$ y $B$, no podemos formar ninguna otra suma equivalente ya que son las dos tarjetas más chicas, por lo cual necesito otro par de esas tarjetas: $A-A-B-B-C-D-E$
Ahora, si tomamos las dos tarjetas $A$, no podemos formar ninguna otra suma equivalente ya que son las dos tarjetas más chicas, así que agrego dos tarjetas $A$: $A-A-A-A-B-B-C-D-E$
Lo mismo sucede con las tarjetas más grandes. No hay ninguna suma equivalente a $D+E$ ya que son las más grandes, por lo que agrego otro par: $A-A-A-A-B-B-C-D-D-E-E$
Y como no hay otra suma equivalente a $E+E$, agrego otro par: $A-A-A-A-B-B-C-D-D-E-E-E-E$
En total tenemos $13$ tarjetas como mínimo. Esto funciona porque acá esta el ejemplo: $1-1-1-1-2-2-3-4-4-5-5-5-5$