Nacional 2021 N1 P6

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Gianni De Rico

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Nacional 2021 N1 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Mili elige un número entero positivo $n$ y a continuación Uriel colorea cada número entero entre $1$ y $n$ inclusive de rojo o de azul. Lugo Mili elige cuatro números $a,b,c,d$ de un mismo color (puede haber números repetidos). Si $a+b+c=d$ entonces gana Mili. Determinar el menor $n$ que puede elegir Mili para asegurarse la victoria, no importa cómo coloree Uriel.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2021 N1 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Vamos a jugar como Uriel, agregando números de forma que Mili no pueda ganar hasta que no podamos más.
  • Pintamos al $1$ de cualquier color, por ejemplo, de rojo:$$\color{red}1.$$
  • Podemos pintar al $2$ de rojo:$$\color{red}1,\color{red}2.$$
  • Como $\color{red}1+\color{red}1+\color{red}1=3$, tenemos que pintar al $3$ de azul:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3.$$
  • Como la suma de cualesquiera tres números azules es al menos $3+3+3=9$, podemos pintar al $4$ de azul:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3,\color{blue}4.$$
  • Como la suma de cualesquiera tres números azules es al menos $3+3+3=9$, podemos pintar al $5$ de azul:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3,\color{blue}4,\color{blue}5.$$
  • Como la suma de cualesquiera tres números azules es al menos $3+3+3=9$, podemos pintar al $6$ de azul:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3,\color{blue}4,\color{blue}5,\color{blue}6.$$
  • Como la suma de cualesquiera tres números azules es al menos $3+3+3=9$, podemos pintar al $7$ de azul:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3,\color{blue}4,\color{blue}5,\color{blue}6,\color{blue}7.$$
  • Como la suma de cualesquiera tres números azules es al menos $3+3+3=9$, podemos pintar al $8$ de azul:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3,\color{blue}4,\color{blue}5,\color{blue}6,\color{blue}7,\color{blue}8.$$
  • Como $\color{blue}3+\color{blue}3+\color{blue}3=9$, tenemos que pintar al $9$ de rojo:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3,\color{blue}4,\color{blue}5,\color{blue}6,\color{blue}7,\color{blue}8,\color{red}9.$$
  • Podemos pintar al $10$ de rojo:$$\color{red}1,\color{red}2,\color{blue}3,\color{blue}4,\color{blue}5,\color{blue}6,\color{blue}7,\color{blue}8,\color{red}9,\color{red}{10}.$$
  • Como $\color{red}1+\color{red}1+\color{red}9=11$ y $\color{blue}3+\color{blue}4+\color{blue}4=11$, no podemos pintar al $11$ de rojo ni de azul. Ganó Mili.
Hasta acá vimos que Mili no necesariamente va a ganar con $n<11$. Vamos a ver ahora que Mili siempre gana con $n=11$.
  • Pintamos al $1$ de cualquier color, por ejemplo, de rojo:$$\color{red}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.$$
  • Como $\color{red}1+\color{red}1+\color{red}1=3$, tenemos que pintar al $3$ de azul:$$\color{red}1,2,\color{blue}3,4,5,6,7,8,9,10,11.$$
  • Como $\color{blue}3+\color{blue}3+\color{blue}3=9$, tenemos que pintar al $9$ de rojo:$$\color{red}1,2,\color{blue}3,4,5,6,7,8,\color{red}9,10,11.$$
  • Como $\color{red}1+4+4=\color{red}9$, tenemos que pintar al $4$ de azul:$$\color{red}1,2,\color{blue}3,\color{blue}4,5,6,7,8,\color{red}9,10,11.$$
  • Como $\color{red}1+\color{red}1+\color{red}9=11$ y $\color{blue}3+\color{blue}4+\color{blue}4=11$, no podemos pintar al $11$ de rojo ni de azul. Ganó Mili.
Vimos que si $n<11$, Uriel puede pintar de forma que Mili no gane; y que sin $n=11$, Mili gana sin importar cómo pinte Uriel. Entonces el menor $n$ tal que Mili siempre puede asegurarse la victoria es $n=11$.
Esto es trivial por el teorema de Bolshonikov demostrado en un bar de Bielorrusia en 1850

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