Se tiene un tablero cuadriculado de $4\times 8$ dividido en $32$ casillas de $1\times 1$ y fichas de $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$ y $4\times 4$. Se quiere cubrir totalmente el tablero usando exactamente $n$ de estas fichas.
$a)$ ¿Es posible hacerlo si $n=19$?
$b)$ ¿Es posible hacerlo si $n=14$?
$c)$ ¿Es posible hacerlo si $n=7$?
En cada caso, si la respuesta es sí, mostrar una forma de cubrir el tablero, y si la respuesta es no, explicar por qué es imposible.
Aclaración: Las fichas no se pueden superponer ni salirse del tablero.
Supongamos que es posible. Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ las cantidades de fichas de $1\times1$, $2\times2$, $3\times3$ y $4\times4$ que se usan, respectivamente. Notemos que las fichas de $1\times1$ ocupan una casilla, las de $2\times2$ ocupan $4$, las de $3\times3$ ocupan $9$ y las de $4\times4$ ocupan $16$. Como las fichas cubren todo el tablero tenemos que $a+4b+9c+16d=32$ y $a+b+c+d=19$. Restando ambas expresiones y mirando módulo $3$ resulta $$8c\equiv13 \pmod3\iff c\equiv2\pmod3$$ Pero $c$ no puede ser mayor a $3$ porque cada $3\times3$ ocupa $9$ casillas y el tablero tiene $32$, así que $c=2$. Luego $$32=a+4b+9c+16d\geqslant a+b+18+d\Longrightarrow 16\geqslant a+b+c+d=19$$
Absurdo. Entonces no se pueden usar exactamente $19$ fichas. $\bigstar$
Supongamos que es posible. Razonando como en (a) (porque $19\equiv7\equiv1\pmod3$) concluimos que se usan dos fichas de $3\times3$. Como el tablero tiene $4$ filas, encima o debajo de cada $3\times3$ hay una franja de $1\times3$ que sólo puede cubrirse con tres fichas $1\times1$. Por lo tanto hasta ahora se necesitan al menos $1+1+3+3=8$ fichas, absurdo porque supusimos que se usaban $7$. Se sigue que no es posible usar exactamente $7$ fichas. $\bigstar$
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"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
Se usarmos uma peça $4\times4$, precisaremos cobrir $16$ casinhas com $18$ peças, e como $16<18$ isto é impossível $ \to $ Não pode usar $4\times4$.
Se usarmos uma peça $3\times3$, precisaremos cobrir $23$ casinhas com $18$ peças, ainda é possível. Se acrescentar outra $3\times3$, precisaremos cobrir $14$ casinhas com $17$ peças, impossível. Então só podemos usar uma $3\times3$, e o resto $1\times1$ e $2\times2$.
Como precisamos cobrir $23$ casinhas com $18$ peças, vamos assumir que todas são $1\times1$ e depois trocar para $2\times2$. A cada vez que isso acontece, o número de casinhas que faltam diminui em $4-1=3$. $23-18=5$, porém $5$ não divide $3$. Então é impossível.
A resposta é não
Usando a mesma lógica do item $a)$, vemos que $19\equiv7\equiv1$ na divisão por $3$. Deste modo precisamos usar duas peças $3\times3$, e como o tabuleiro possui $4$ filas e $8$ colunas, podemos colocar duas peças de $2\times2$ nas colunas $7$ e $8$, assim faltará uma parte de $1\times6$ que só pode ser preenchido com peças $1\times1$. Porém $6+2+2=10>7$, absurdo!
Então é impossível.
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Caso eu errar alguma demonstração, lembre-se: não era eu escrevendo!
