El número [math]1155 está escrito en el pizarrón. Alan y Brian juegan por turnos al siguiente juego. En cada turno el jugador de ese turno reemplaza el número del pizarrón por la resta entre ese número y uno de sus divisores, a elección. Empieza Alan. Pierde el jugador que escribe [math]0. Determinar cuál de los jugadores tiene estrategia ganadora.
Describo la estrategia ganadora que tiene Brian para ganarle a Alan. Es fácil observar que si en un turno uno de los dos tiene escrito un número impar, va a terminar restandole necesariamente un número impar (ya que todos sus divisores son impares). Obteniendo así un impar. Observemos que el es impar. Alan va a empezar escribiendo un número par. Brian puede conseguir devolverle un número impar restandole a lo que dijo Alan (Ya que todo número es divisible por ). Si en todos los turnos de Brian repite ese procedimiento, es fácil ver que como los números que ambos escriben disminuyen, en algún momento Alan va a terminar diciendo el y así perdiendo el juego.
Generalización: Por lo tanto se puede ver que si se empieza con un impar el segundo tiene una estrategia ganadora y si se empieza con un par el que empieza tiene una estrategia ganadora.
Brian tiene la estrategia ganadora.
Notemos que como $1155$ es impar, entonces todos sus divisores tambien son impares y por lo tanto, al hacer la resta entre $n$ y uno de sus divisores vamos a obtener un numero par. Entonces Alan, sin importar el divisor que elija, va a dejar a Brian con un numero par.
Ahora como Brian esta jugando a ganar, va a sacar un numero impar, de esta manera le deja a Alan un numero impar. Veamos que Brian siempre puede sacar un divisor impar ya que el 1 esta incluido.
Sabiendo que el nuevo numero es impar, entonces Alan solamente puede restar un divisor impar y se repite lo que mencionamos al principio.
De esta manera Alan siempre va a dejar numeros pares y Brian va a dejar numeros impares. Como 0 es un numero par, entonces Alan pierde y Brian tiene la estrategia ganadora.
Demostracion de que la resta de dos numeros impares dejan un numero par:
$$2k + 1 - 2m + 1, m,k \in \mathbb Z$$
$$2k + 2m + 2$$
$$2(k+m+1)$$
$\blacksquare$
