Tres amigos $A$, $B$, $C$ viajan desde $F$ hasta $G$. La distancia entre estos dos pueblos es $17\text{ km}$. Salen los tres al mismo tiempo y llegan al mismo tiempo. Las velocidades de los amigos son, respectivamente, $40\text{ m/min}$, $50\text{ m/min}$, $60\text{ m/min}$. Tienen entre los tres una bicicleta en la que todos van a $200\text{ m/min}$. Al principio, uno sale en bicicleta y los otros dos, caminan. Después de cierto tiempo, el de la bicicleta, la deja y continúa a pie. Otro de los amigos, el que llega primero la toma y sigue un rato en bicicleta. Luego la deja y sigue a pie. Finalmente, el tercer amigo toma la bicicleta y llega a $G$ al mismo tiempo que sus otros dos amigos. Determinar cuánto tiempo recorrió cada uno en bicicleta.
($\text{m/min}$ es la abreviatura de metros por minuto)
Sea [math]t la cantidad total de tiempo en minutos que le lleva a los amigos ir de [math]F hasta [math]G. Sean [math]t_A,t_B y [math]t_C las cantidades de tiempo en minutos que usa cada amigo la bicicleta. El enunciado nos pide hallar precisamente [math]t_A,t_B y [math]t_C. Consideremos el amigo [math]A. Tenemos que [math]A recorre [math]t_A minutos en la bicicleta, y por lo tanto, [math]t - t_A minutos a pie. Luego, como [math]\textit{distancia} = \textit{velocidad} \times \textit{tiempo}, tenemos que el amigo [math]A recorrio [math]200 t_A metros en bici, y [math]40(t - t_A) metros a pie. Como la distancia entre [math]F y [math]G es de [math]17 km = 17 000 metros, se sigue que [math]200 t_A + 40(t - t_A) = 17000 \Rightarrow 160t_A + 40 t = 17000. De la misma manera obtenemos las ecuaciones analogas para los amigos [math]B y [math]C. Esto nos da las tres ecuaciones:
[math]160t_A + 40 t = 17000 \\
150t_B + 50 t = 17000 \\
140t_C + 60 t = 17000
Hasta ahora tenemos [math]3 ecuaciones y [math]4 incognitas. Para obtener una cuarta ecuacion, nos enfocamos en la bicicleta. La bicicleta tambien se mueve de [math]F a [math]G: recorre esta distancia en [math]3 tramos, que son cuando la usa cada amigo. En el tramo que la usa el amigo [math]A, la bicicleta recorre [math]200t_A metros, cuando la usa [math]B recorre [math]200t_B metros, y cuando la usa [math]C, recorre [math]200t_C metros. Por lo tanto, como la bicicleta recorre en total [math]17000 metros, obtenemos que [math]200t_A + 200t_B + 200t_C = 17000 \Rightarrow t_A + t_B + t_C = 85, y de esta manera
[math]t_A + t_B + t_C = 85
Ahora que tenemos [math]4 ecuaciones y [math]4 incognitas, simplemente es cuestion de despejar cada una. Poniendo [math]t_A,t_By[math]t_C en funcion de [math]t en las primeras [math]3 ecuaciones obtenemos
Esta ecuacion involucra solo a [math]t, entonces la podemos despejar y nos da [math]t = 253. Por ultimo, despejamos los valores de [math]t_A,t_B y [math]t_C:
Por lo tanto, el amigo [math]A usa la bicicleta [math]43 minutos, el amigo [math]B la usa [math]29 minutos, y el amigo [math]C la usa [math]13 minutos. [math]\blacksquare
Sea [math]T el tiempo que tardó cada uno. Sin la bicicleta [math]A tardaría [math]425min. y por cada minuto que usa la bicicleta se ahorra [math]\frac{1}{40}min-\frac{1}{200}min=\frac{1}{50}min. de igual manera se concluye que:
Sean [math]T el tiempo que tardan [math]A, [math]B y [math]C en ir de [math]F a [math]G; [math]t_A, [math]t_B, [math]t_C el tiempo que [math]A, [math]B y [math]C, respectivamente, tienen la bicicleta.
Vamos a calcular la distancia que recorre cada uno en función del tiempo, como sabemos la distancia, la velocidad a la que van en la bicicleta, y la velocidad a la que caminan individualmente, podemos hacerlo.
Nos queda: [math]200t_A+40(T-t_A)=17000 [math]200t_B+50(T-t_B)=17000 [math]200t_C+60(T-t_C)=17000
Despejando los [math]t resultan: [math]t_A=\frac{425-T}{4} [math]t_B=\frac{340-T}{3} [math]t_C=\frac{1700-6T}{14}
Ahora, la bicicleta también va de [math]F a [math]G, y el tiempo que tarda es el tiempo que cada uno de los amigos la estuvieron usando. Entonces: [math]200(t_A+t_B+t_C)=17000\Rightarrow t_A+t_B+t_C=85
Entonces nos queda un sistema de [math]4 ecuaciones con [math]4 incógnitas, resolviéndolo resulta: [math]T=253 [math]t_A=43 [math]t_B=29 [math]t_C=13