Identidad con sumas.

[Vladislao]

Sean $p$ y $q$ primos impares distintos. Probar que:$$\sum _{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \lfloor \frac{iq}{p}\right \rfloor +\sum _{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left \lfloor \frac{ip}{q}\right \rfloor =\frac{(p-1)(q-1)}{4}.$$PD: Como mera motivación dejo el dato anecdótico de que esta identidad juega un rol clave en una posible demostración de la Reciprocidad Cuadrática.

[JPablo]

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Sea [math]D el origen de coordenadas, [math]A=\left ( \frac{p}{2},0 \right ), [math]B=\left ( \frac{p}{2},\frac{q}{2} \right ), [math]D=\left ( 0,\frac{q}{2} \right ). De esta forma tenemos un rectángulo [math]ABCD. Sea [math]w el número de puntos con coordenadas enteras que se encuentran dentro del rectángulo [math]ABCD (sin contar aquellos que están sobre sus lados). La recta [math]BD tiene la ecuación

[math]y-0=\frac{\frac{q}{2}-0}{\frac{p}{2}-0}\left ( x-0 \right )\Longleftrightarrow y=\frac{q}{p}x\Leftrightarrow x=\frac{p}{q}y

De esta forma, es claro que el segmento [math]BD no puede tener puntos con coordenadas enteras, pues eso implicaría [math]p\mid qx y como [math]p y [math]q son coprimos, se tiene [math]p\mid x, lo cual es imposible pues [math]1\leq x\leq \frac{p}{2}< p. De esta forma, si llamamos [math]w_1 a la cantidad de puntos enteros dentro del triángulo [math]ABD, y [math]w_2 a la cantidad de puntos enteros dentro del triángulo [math]BCD, tenemos [math]w=w_1+w_2.

Sea [math]m un natural menor o igual que [math]\frac{p-1}{2}, y consideremos los puntos enteros dentro del triángulo [math]ABD y sobre la recta [math]x=m. Dichos puntos tendrán que satisfacer la desigualdad [math]y< \frac{q}{p}m (para así estar por debajo de [math]BD), y esto está dado por todos los naturales [math]y tales que [math]y\leq \left \lfloor \frac{mq}{p} \right \rfloor que son, claramente, [math]\left \lfloor \frac{mq}{p} \right \rfloor. Por lo tanto tenemos

[math]w_1=\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \lfloor \frac{iq}{p} \right \rfloor

Ya que el mayor natural menor que [math]\frac{p}{2} es [math]\frac{p-1}{2}.

Sea [math]u un natural menor o igual que [math]\frac{q-1}{2}. Consideremos los puntos con coordenadas enteras dentro del triángulo [math]BCD y sobre la recta [math]y=u. Dichos puntos están determinados por todos los naturales [math]x que satisfacen [math]x< \frac{p}{q}u\Rightarrow x\leq \left \lfloor \frac{up}{q} \right \rfloor, y como el mayor natural menor que [math]\frac{q}{2} es [math]\frac{q-1}{2}, tenemos que

[math]w_2=\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left \lfloor \frac{ip}{q} \right \rfloor

De esta forma tenemos

[math]w=w_1+w_2=\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \lfloor \frac{iq}{p} \right \rfloor+\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left \lfloor \frac{ip}{q} \right \rfloor

Sin embargo, notemos que [math]w puede calcularse más fácilmente contando la cantidad de puntos de coordenadas enteras dentro de [math]ABCD y sobre una recta horizontal, y multiplicando dicho resultado por la cantidad de puntos de coordenadas enteras dentro de [math]ABCD y sobre una recta vertical (es el mismo principio para calcular el área de un rectángulo). La primera cantidad es igual a [math]\frac{p-1}{2} y la segunda cantidad es igual a [math]\frac{q-1}{2}. De esta forma

[math]\boxed{\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}\left \lfloor \frac{iq}{p} \right \rfloor+\sum_{i=1}^{\frac{q-1}{2}}\left \lfloor \frac{ip}{q} \right \rfloor=\frac{p-1}{2}\times \frac{q-1}{2}}

Como queríamos demostrar. [math]\blacksquare