Hallar todos los enteros [math]n que no son potencias de [math]2 y que satisfacen la ecuación [math]n=3D+5d, donde [math]D es el mayor divisor impar de [math]n y [math]d es el menor divisor impar de [math]n mayor que [math]1.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
Notemos que [math]d debe ser primo.
Por otro lado, [math]3D+5d=3D+D\frac{5d}D=D(3+\frac{5d}{D}), de modo que [math]3+\frac{5d}{D} debe ser potencia de [math]2
Por definición, [math]d \leq D, luego [math]\frac{5d}{D} \leq 5. Entonces [math]3+\frac{5d}{D}=4 ó [math]3+\frac{5d}{D}=8
De ello se obtiene [math]D=5d y [math]a=2, y [math]d=D y [math]a=3, respectivamente
En el primer caso, [math]5 | n, luego, si [math]3 |n tenemos que [math]d=3 y [math]D=15, con lo cual [math]n=60 y cumple la ecuación dada
Si [math]3 \not\mid n tenemos [math]d=5 y [math]D=25, con lo cual [math]n=100 y cumple la ecuación dada.
En el segundo, [math]d=D de modo que [math]n=8d=8p, con [math]p primo.
Notemos que cualquier [math]n de esta forma cumple la ecuación dada.
Entonces, hay tres soluciones, [math]n=60, [math]n=100, y [math]n=8p con [math]p primo.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Como [math]n no es potencia de [math]2, existe al menos un primo impar que lo divide. Sea [math]p el mayor primo impar que divide a [math]n. Luego [math]p divide al máximo divisor impar [math]d de [math]n, ya que si no lo dividiera [math]d*p sería un divisor impar de [math]n, lo que contradice la maximidad de [math]d.
Luego [math]p divide a [math]5q donde [math]q es el menor primo impar que divide a [math]n (el primer divisor impar). Luego tenemos dos casos:
[math]p=q, luego hay un único primo impar que divide a [math]n, entonces [math]n=2^mp^j=3p^j+5p \to (2^m-3)p^{j-1}=5. Luego tenemos [math]n=8p o [math]n=4.25=100.
[math]p=5, luego [math]q=3 de donde tenemos [math]n=3*15+5*3=60.
Algo que no sé si hace falta aclarar, pero que algunos chicos preguntaron:
El problema dice que [math]n es entero, no dice nada sobre si es positivo o no. Pero podemos ver fácilmente que [math]n es positivo, porque
[math]D es positivo porque el mayor divisor impar de cualquier número siempre va a ser positivo
[math]d también es positivo porque dice [math]d > 1
[math]n = 3D + 5d
Guía de [math]\LaTeX: sirve para escribir ecuaciones como [math]\frac{11}{8}+ x \lfloor \pi \rfloor = 1
Es fácil notar que [math]n es par. Luego, [math]n=2^t\times k, con [math]k>1 impar. Analizaremos dos casos: Primer Caso: Si [math]k es primo impar, entonces [math]D=d=k, entonces [math]2^t\times k=8k, y por ende, [math]t=3, en consecuencia, este caso admite como solución a la familia de números [math]8p, con [math]p primo impar.
Segundo Caso: Si [math]k es compuesto, entonces [math]d<D=k, luego, [math]k(2^t-3)=5d, con [math]t>1. Analizaremos dos sub casos:
(1) Si [math]d=5, entonces [math]k=25, y por ende [math]t=2, entonces el número [math]100 cumple.
(2) Si [math]d\neq 5, entonces como [math]d es primo, los posibles valores de [math]k son [math]5 o [math]5d, si [math]k=5, entonces [math]2^t-3=d<5, por eso [math]t=2, luego, [math]2^2-3=1=d, lo cual es absurdo. Por lo tanto [math]k=5d y [math]t=2, luego, [math]n=20d, y [math]2<d<5, pero como [math]d es primo se deduce que [math]d=3, por lo tanto, en este caso [math]n=60.
$\exists n \in \mathbb{N}$ / $n\neq 2^k$ ($k \in \mathbb{N}$), $n=3D+5d$, donde $D$ es el mayor divisor impar y $d$ el menor. Tenemos dos posibilidades:
(a) Si $2 \nmid n$, $D= \frac{n}{d} \Rightarrow n=\frac{3n}{d}+5d \rightarrow (n-5d)d=3n \rightarrow nd-3n=5d^2 \rightarrow n=\frac{5d^2}{d-3} \Rightarrow$ no existe un $n$ que cumpla ya que no hay un $d<3$.
(b) Si $2\mid n$, $D=\frac{n}{2^k}$ / $k \in \mathbb{N} \Rightarrow n=\frac{3n}{2^k}+5d \rightarrow (n-5d)2^k=3n \rightarrow n2^k-3n=5d2^k \rightarrow n(2^k-3)=5d2^k \rightarrow n=\frac{5d2^k}{2^k-3} \Rightarrow$ Debemos ver los casos $2^k-3\mid d$ / $d\leq 5$, es decir, $2^k-3=1 , 3, 5$. Ahora debemos ver estos casos:
(1) Si $2^k-3=1 \rightarrow 2^k=4 \rightarrow k=2 \Rightarrow n=\frac{5d4}=20d$, con $d>1$ primo. Si $d=3 \Rightarrow n=60$ y si $d=5 \Rightarrow n=100$.
(2) Si $2^k-3=3$, pero no cumple ya que $6$ no es potencia de $2$.
(3) Si $2^k-3=5 \rightarrow 2^k=8 \rightarrow k=8 \Rightarrow n=\frac{5d8}{5} \Rightarrow n=8d$ con $d\geq 5$ primo.
$n=3D+5d$
$\frac{n}{D}=3+ \frac{5d}{D}$
Cómo $\frac{n}{D}$ es entero, $\frac{5d}{D}$ también. Por lo que tenemos que: Caso 1) $D=d$ Caso 2) $D=5x$ con $x$ entero positivo tal que $x|d$
Caso 1)
Reemplazamos en la ecuación original y tenemos que:
$n=3D+5d=3d+5d=8d$
Ahora, ya que $D=d$, realmente $n$ solo tiene un único divisor impar distinto de $1$ que es a la vez el mayor y el menor. Lo que implica que $d$ es primo impar, ya que si fuera compuesto impar existirían al menos $2$ divisores impares distintos.
Por lo que $n=8p$ con $p$ primo positivo.
Siendo los divisores de $n$, $[1,2,4,8,p,2p,4p,8p]$
En donde, como puede verse $p=d=D$ es el único divisor impar de $n$
Caso 2)
Reemplazando en la ecuación original tenemos que:
$n=15x+5d=5(3x+d)$
Cómo ahora $n \equiv 0 \,(mod \, 5)$ tenemos que $d \leq 5$
Por lo que: Caso 2.1) $d=3$
$n=5(3x+3)=15(x+1)$
Pero como dije antes $x|d$ por lo que $x=1$ o $x=3$ de donde obtenemos que $n=30$ o $n=60$ en donde:
$n=3D+5d$
$30=3.15+5.3=60$ No cumple.
$60=3.15+5.3=60$ Cumple.
Caso 2.2) $d=5$
$n=5(3x+5)$
Pero, como $x|d$, $x=1$ o $x=5$ de donde obtenemos que $n=8.5$ (Que, como podemos ver, es una variante del Caso 1) o $n=100$ en donde:
$100=3.25+5.5=100$ Cumple.
Por lo que: Los $n$ que cumplen con esto son $100$, $60$ y todo número de la forma $8p$ con $p$ primo impar positivo. En donde es claro que ninguno es una potencia de $2$
Sea $n=2^kpc$, con $p$ el menor primo impar que divide a $n$ y $c$ impar, por lo que $p\leq c$ o $c=1$.
$2^kpc=3D+5d=3cp+5p\Longrightarrow 2^k=3+\frac{5}{c}\Longrightarrow c\mid 5\Longrightarrow c\in \{1,5\}$
Si $c=1$, $k=3$, $n=8p$ con $p$ primo impar, y $3D+5d=3p+5p=8p=n$.
Si $c=5$ y $p=3$, $k=2$ y $3D+5d=45+15=60=n$.
Si $c=5$ y $p=5$, $k=2$ y $3D+5d=75+25=100=n$.
Luego cumplen $60$, $100$ y $8p$ con $p$ primo impar.
Si $n$ tiene $x$ factores $2$ en su factorización, como $D$ es el máximo divisor de $n$ sin factores $2$, $D=\frac{n}{2^x}$. Por consiguiente, $n=\frac{3\cdot n}{2^x}+5d$, de donde se despeja que $n=\frac{5d\cdot 2^x}{2^x-3}$. Dado que $2^x-3|5d\cdot 2^x$, al ser $2^x-3$ coprimo con $2^x$, y $d$ primo (es el menor divisor impar de $n$), $2^x-3$ equivale a $1$, $5$, $d$ o $5d$. Si $2^x-3=1$, $x=2$, y queda que $n=20d$, donde como $d$ es el menor divisor impar de $n$, $5\geq d$. Con $d=3$, $n=60$, y con $d=5$, $n=100$, que verifican. Si $2^x-3=5$, $x=3$, entonces $n=8d$, por lo que todo número de la forma $8p$ con $p$ primo impar verifica. Si $2^x-3=d$, entonces $n=5\cdot 2^x$, nuevamente $5\geq d$, y la única solución entera de $2^x-3=d$ es $x=3$ y $d=5$, que ya fue contabilizada. Finalmente, $2^x-3\neq 5d$, ya que $n=2^x$ contradice el enunciado. Por esto, las únicas soluciones son $n=60,n=100$ y $n=8p$ $\clubsuit$
Notemos que $d$ es primo. Además consideremos $n$ como $2^x\cdot D$ con $x$ entero.
Si $D=d$ tenemos $n=3d+5d=8d$, con $d$ pudiendo ser cualquier primo impar.
Si $D\neq d$, tenemos $D>d$, por lo que $8D>3D+5d=n$. Además $2D<n$. De esto se deduce que $1<x<3\Longrightarrow x=2$, es decir $4D=3D+5d\Longrightarrow D=5d$.
Tenemos que $D$ es múltiplo de $5$ y divisor de $n$, así que $5\mid n$. En consecuencia $d$ es $3$ o $5$.
Si $d=3$, $D=15$ y nos queda $n=60$
Si $d=5$, $D=25$ y queda $n=100$.
Resumiendo, todos los enteros que cumplen son $60$, $100$ y $8p$ para todo primo impar. $\bigstar$
"La suma de las raíces cuadradas de dos lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del lado restante."
