Regional Ñandú 2015 - Problema 3 Nivel 3

[Melanie]

La abuela de Dani olvidó la clave de $5$ dígitos para abrir su valija.
Recuerda que:

• no tiene ningún cero,
• tiene tres dígitos que son múltiplos de $4$,
• tiene dos dígitos que son múltiplos de $3$,
• no tiene dígitos consecutivos iguales.

¿Cuántas son las posibles claves? Explica cómo las contaste.

[CharlyMaiden]

Este problema a mí tambien me tiene desorientado. No entiendo bien la consigna.
Alguien podría ofrecer la solución?
Gracias.

[jroca]

Este problema a mí tambien me tiene desorientado. No entiendo bien la consigna.
Alguien podría ofrecer la solución?
Gracias.

no tengo la respuesta precisa pero se que si me pongo a hacerla lo conseguiré.
un ejemplo de los números que se pueden hacer puede ser 43864, ya que 4 es múltiplo de 4, 3 es múltiplo de 3, 8 es múltiplo de 4, 6 es múltiplo de 3 y 4 es múltiplo de 4, cabe destacar que cumple con todos los datos que se pide.
A simple vista se ve que son bastantes números, solo es cuestión de pensar.

[Matías V5]

Hola a todos! Vi que varias personas estaban comentando sobre este problema, así que decidí postear una solución. Espero que se entienda, cualquier cosa pueden preguntar

Spoiler: mostrar

La clave de la valija tiene tres dígitos que son múltiplos de [math]4. Como sabemos que no hay ningún cero, estos dígitos pueden ser:

• tres [math]4,
• tres [math]8,
• dos [math]4 y un [math]8,
• un [math]4 y dos [math]8.

Supongamos que hay tres [math]4. Como no hay dos dígitos consecutivos iguales, la clave tiene que ser [math]4 _ [math]4 _ [math]4. Los dos dígitos que van en los huecos tienen que ser múltiplos de [math]3. Para cada uno de ellos hay tres posibilidades ([math]3, [math]6 o [math]9). Entonces tenemos [math]3 \times 3 = 9 posibles claves con tres [math]4.
El caso en el que hay tres [math]8 es igual al anterior, porque de nuevo tiene que ser [math]8 _ [math]8 _ [math]8 y para completar cada hueco tenemos tres opciones. Así, también hay [math]9 posibles claves con tres [math]8.
Pasamos ahora al caso en el que hay dos [math]4 y un [math]8. Vamos a ir viendo las posibilidades según dónde pongamos el [math]8.
(a) Si el [math]8 es la primera cifra, o sea si la clave es [math]8 _ _ _ _, ahora para acomodar los dos [math]4 tenemos tres opciones: [math]8 4 _ [math]4 _, [math]8 4 _ _ [math]4, [math]8 _ [math]4 _ [math]4. En la primera opción tenemos [math]3 \times 3 = 9 formas de completar los huecos con dos dígitos que sean múltiplos de [math]3. Lo mismo pasa con la tercera opción, pero con la segunda opción tenemos menos posibilidades porque debemos tener en cuenta que los dos dígitos que falta completar son consecutivos y por lo tanto no pueden ser iguales. Tenemos tres posibilidades para elegir el dígito de la izquierda, y una vez elegido éste, nos quedan sólo dos posibilidades para el dígito de la derecha, porque no podemos repetir el dígito que ya usamos. Entonces para la opción [math]8 4 _ _ [math]4 tenemos [math]3 \times 2 = 6 claves posibles.
En total, en este "subcaso" hay [math]9+6+9 = 24 claves posibles.
(b) Si el [math]8 es la segunda cifra, o sea si la clave es _ [math]8 _ _ _, para acomodar los dos [math]4 tenemos cuatro opciones: [math]4 8 4 _ _, [math]4 8 _ [math]4 _, [math]4 8 _ _ [math]4, _ [math]8 4 _ [math]4. De estas opciones, en la segunda y en la cuarta tenemos [math]9 claves posibles porque para completar cada hueco tenemos [math]3 posibilidades y no hay restricción adicional ya que no son dígitos consecutivos; en cambio, en la primera y tercera opciones sólo va a haber [math]6 claves posibles, razonando igual que como hicimos en (a). En total, en este "subcaso" hay [math]6+9+6+9 = 30 claves posibles.
(c) Si el [math]8 es la cifra del medio, para acomodar los [math]4 tenemos cuatro opciones: [math]4 _ [math]8 4 _, [math]4 _ [math]8 _ [math]4, _ [math]484 _, _ [math]4 8 _ [math]4. En todas ellas los dos dígitos que falta completar no son consecutivos, así que vamos a tener [math]9 claves posibles por cada opción. En total son [math]36 claves posibles.
(d) Si el [math]8 es la cuarta cifra es simétrico al caso (b) y por lo tanto también hay [math]30 claves posibles.
(e) Si el [math]8 es la última cifra es simétrico al caso (a) y por lo tanto también hay [math]24 claves posibles.
Entonces, con dos [math]4 y un [math]8 hay [math]24 + 30 + 36 + 30 + 24 = 144 claves posibles.
El caso con un [math]4 y dos [math]8 se puede resolver de la misma forma que el anterior, viendo los distintos casos según en qué posición esté el dígito [math]4. Así, obtenemos que también hay [math]144 claves posibles con un [math]4 y dos [math]8.
En total, la cantidad de claves posibles es [math]9+9+144+144 = \boxed{306}.

[Melanie]

Uy Mati me ganó de mano! Como nota de color, hice con la compu un programa que devuelva todas las soluciones al problema. Obviamente no se espera que hagan la lista entera sino que cuenten cuántas son como lo hizo Mati. Pero como no hay nada más lindo que sumar posts, les mando la lista:

34348
34384
34648
34684
34834
34838
34843
34846
34849
34864
34868
34894
34898
34948
34984
36484
36848
38348
38384
38434
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38464
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39484
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43434
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46864
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48349
48364
48368
48383
48386
48389
48394
48398
48436
48439
48463
48469
48493
48496
48634
48638
48643
48646
48649
48683
48686
48689
48694
48698
48934
48938
48943
48946
48949
48964
48968
48983
48986
48989
49348
49384
49434
49438
49464
49468
49483
49486
49489
49494
49498
49648
49684
49834
49838
49843
49846
49849
49864
49868
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49898
63484
63848
64348
64384
64648
64684
64834
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64864
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89384
89434
89438
89464
89468
89483
89486
89489
89494
89498
89648
89684
89834
89838
89843
89846
89849
89864
89868
89894
89898
93484
93848
94348
94384
94648
94684
94834
94838
94843
94846
94849
94864
94868
94894
94898
94948
94984
96484
96848
98348
98384
98434
98438
98464
98468
98483
98486
98489
98494
98498
98648
98684
98948
98984

[Pirógeno]

La abuela de Dani olvidó la clave de 5 dígitos para abrir su valija. Recuerda que:
• no tiene ningún cero,
• tiene tres dígitos que son múltiplos de 4,
• tiene dos dígitos que son múltiplos de 3,
• no tiene dígitos consecutivos iguales.
¿Cuántas son las posibles claves? Explica cómo las contaste.