Rioplatense 2015 - NA P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Fran5

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Rioplatense 2015 - NA P4

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 13 Dic, 2015 6:10 pm

En un país, las reglas para los empleados de todas las empresas son las siguientes:
  • Cada empleado es contratado por [math] meses.
  • Obligatoriamente, uno de esos [math] meses es de vacaciones.
  • Cualquier mes puede ser el de vacaciones, pudiendo así mismo ser el primero o el último mes de contrato (el mes de vacaciones del empleado es decidido por la empresa)
  • Ningún empleado puede dejar el empleo durante los [math] meses.
Una nueva empresa calcula que necesitará de por lo menos [math] empleados trabajando (sin estar de vacaciones) en cada mes durante los próximos [math] meses.
¿Cuántos empleados, en total, como mínimo, deberá contratar? Explicar por qué no puede contratar menos empleados y mostrar una manera de distribuir los empleados de modo que se satisfaga la condición pedida.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Laureano U

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Re: Rioplatense 2015 - NA P4

Mensaje sin leer por Laureano U » Sab 17 Oct, 2020 7:31 pm

Mando algo que pensé del problema:
Spoiler: mostrar
Lo pensé algo rápido, pero pensé que como cada trabajador cubre $13$ meses, y la empresa necesita que, por $14$ meses, haya $2015$ empleados. Entonces, si $1$ trabajador cubre $13$ meses, y la empresa necesita que se cubran $14$ meses de $2015$ trabajadores, podemos decir que la empresa necesita que se cubran $14*2015= 28210$ meses, y esto lo dividimos por los $13$ meses que cubre cada empleado, y podemos obtener cual es la mínima cantidad de empleados que va necesitar (que es igual a $2170$). También, podemos ver que si son $2170$ los trabajadores, se pueden tomar hasta 155 a la vez vacaciones, y vemos que si son $2170$, en TODOS los meses hay $2015$ empleados trabajando y $155$ de vacaciones, y como $155*14=2170$, vemos que es la mínima cantidad posible.
Respuesta:
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La mínima cantidad posible de empleados que puede contratar la empresa es $2170$, de manera que todos los meses trabajan $2015$ y descansan $155$

Fedex

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Re: Rioplatense 2015 - NA P4

Mensaje sin leer por Fedex » Dom 18 Oct, 2020 8:13 am

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Sea $m_i$ la cantidad de empleados que no trabajan el mes $i$.
Sea $T$ el total de trabajadores:
$T = m_1 + m_2 + m_3 + ... + m_{14}$
La empresa requiere que para todo $1 \leq i \leq 14$
$T - m_i \geq 2015$
Si sumamos todas estas $14$ inecuaciones:
$14T - m_1 - m_2 - ... - m_{14} = 13T \geq 2015.14$
Luego $T \geq \frac{2015.14}{13} = 2170$
Y el ejemplo es el que pusieron arriba.
2  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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