Problema 3 Nivel 1 Zonal 2016

[Nacho]

Sea [math]ABCD un rectángulo de lados [math]AB, [math]BC, [math]CD y [math]DA. Sea [math]E un punto en el lado [math]CD.
Si [math]\text{área}(ADE) = \dfrac{1}{5}\text{área}(ABCE), calcular [math]\dfrac{DC}{CE}.

[bruno]

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Sea [math]Area (ADE)=x entonces [math]Area (ABCE)=5x y [math]Area (ABCD)=6x. Ademas [math]Area (BCE)=z.

Calculando las area de los triangulos rectangulos y el rectangulo [math]ABCD queda :

[math]AD\times DE=2x
[math]AD\times CE=2z ([math]BC=AD porque [math]ABCD es un rectangulo)
[math]AD\times CD=6x

De las primeras dos ecuacion obtengo la relacion entre [math]x y [math]z

[math]\frac{DE}{CE}=\frac{x}{z}

La relacion pedida queda:

[math]\frac{CD}{CE}=\frac{3x}{z}

Reemplazo [math]z

[math]\frac{CD}{CE}=\frac{3DE}{CE}

Si [math]DE=CD-CE entones:

[math]\frac{CD}{CE}=\frac{3(CD-CE)}{CE}

[math]CD\times CE=3\times CD \times CE - 3 \times CE^2

[math]3 \times CE^2= 2\times CD \times CE

[math]3 \times CE= 2\times CD

[math]\frac{CD}{CE}=\frac{3}{2}

[Emerson Soriano]

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Es claro que [math]\left [ ABCD \right ]=6\left [ AED \right ]. Por lo tanto, [math]CD\cdot AD=6(\frac{(CD-CE)\cdot AD}{2})=3AD\cdot (CD-CE), de donde se concluye que [math]\frac{CD}{CE}=\frac{3}{2}.

[Tomix<3]

yo puse 1,5. cuenta?

[Matías V5]

yo puse 1,5. cuenta?

Sí, [math]\frac{3}{2} o [math]1,5 es lo mismo.

[Deboratherrera]

Hola alguien me puede ayudar a resolver o guiarme en este problema?

[ricarlos]

Debe tener muchas formas de resolverlo, por ejemplo para empezar ¿puedes ver el area de AEB es la mitad del area del ABCD (no importa donde se encuentre E) ?