Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

[Franco Frizzo]

Sea $a$ un número real tal que $\frac{1}{a}=a-[a]$. Demostrar que $a$ es irracional.

Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

[Franco Frizzo]

No estoy del todo convencido de esta solución, a ver si alguien tiene ganas de corregirla jajaja:

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Supongamos que [math]a es racional. Entonces podemos escribirlo como [math]a=k+\frac{p}{q}, con [math]k, [math]p y [math]q enteros, [math]p y [math]q coprimos, [math]q\neq0 y [math]q\neq1, donde [math]k es la parte entera de [math]a y [math]\frac{p}{q} su parte decimal. Luego, reemplazamos en [math]\frac{1}{a}=a-[a]:
[math]\frac{q}{kq+p}=k+\frac{p}{q}-k \Rightarrow \frac{q}{kq+p}=\frac{p}{q} \Rightarrow q^2=kpq+p^2.
De un lado de la ecuación tenemos a [math]q^2, que es obviamente múltiplo de [math]q. En el otro miembro, tenemos a [math]kpq, que también es múltiplo de [math]q, y a [math]p^2, que no es múltiplo de [math]q porque [math]p y [math]q son coprimos. Luego [math]kpq+p^2 no puede ser múltiplo de [math]q, lo cual es absurdo.
Esto implica que [math]a no puede ser racional y, como es un número real, entonces debe ser irracional.

[Ivan]

Está casi perfecta la solución, la idea es esa

Un detalle. La parte decimal [math]a-[a] cumple [math]0\leq a-[a] <1.

Si [math]a no es entero, la parte decimal no es [math]0 y el argumento que hacés funciona bien.

Si [math]a es entero, la parte decimal es [math]0, quedaría [math]p=0 y no podrías hacer el mismo argumento. Igual este caso es fácil como [math]a=[a] queda [math]\frac{1}{a}=a-a=0 que no puede ocurrir.

[Franco Frizzo]

Gracias, y es verdad, no me di cuenta de aclarar ese detalle! Cuando lo estaba resolviendo se me ocurrió el caso y lo resolví pensando que si [math]p=0 queda [math]q^2=0kq+0^2 \Rightarrow q^2=0 y como [math]q\neq0, también es absurdo. Después me olvidé totalmente de eso jaja.

[Martín Vacas Vignolo]

Un detalle, de rompe bolas nomás

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[math]p<q

[3,14]

Otra forma:

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[math]a^2-a[a] -1=0
Podemos hacer baskara y obtenemos que:
[math]a=\frac {[a] \pm \sqrt {[a]^2+4}}{2}
Notar que el término dentro de la raíz cuadrada es entero, y que [math][a] es entero. Para que [math]a no sea irracional, entonces el término dentro de la raíz deberá ser un cuadrado perfecto (porque la raíz de un número entero es o bien entero o bien irracional). Pero eso significaría que hay dos cuadrados perfectos separados por una distancia de [math]4, y es fácil comprobar que esto no es posible a no ser que [math][a]=0, lo que es claramente imposible. Entonces [math]a es irracional.

[julianferres_]

@3,14 Creo que en la solución queda que [math]\lfloor a \rfloor =0 en lugar de [math]a=0

Igual de ahi es facil, porque te queda que [math]0 < a < 1 y por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación es mayor a [math]1 y el de la izquierda es menor que [math]1 estarías staría.

[3,14]

Gracias, ahí lo edité! También se puede ver reemplazando en la última ecuación [math][a]=0, y te queda [math]a=1, que no cumple.

[Gianni De Rico]

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Notemos que $a$ no puede ser entero pues en ese caso nos queda $\frac{1}{a}=0$.
Supongamos que $a$ es racional, entonces podemos escribir $a=n+\frac{p}{q}$, con $n\in \mathbb{Z}$, $p,q\in \mathbb{N}$, $p<q$ y $\gcd (p,q)=1$. Entonces $\lfloor a\rfloor =n$, de modo que $a-\lfloor a\rfloor =\frac{p}{q}$. La ecuación queda $\frac{1}{a}=\frac{p}{q}$, con lo que $1=a\frac{p}{q}$, y así $1=\left (n+\frac{p}{q}\right )\frac{p}{q}$, multiplicando por $q^2$ a ambos lados nos queda$$q^2=npq+p^2,$$con lo que $q\mid p^2$, lo que es absurdo porque $\gcd (p,q)=1$.
Se sigue que $a$ es irracional.

[Fran2001]

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Primero notemos que si [math]a es negativo entonces el lado izquierdo de la ecuación es negativo, pero como [math]a\geqslant [a]; el lado derecho no lo es, lo que es absurdo. Por lo tanto [math]a\geqslant 0
Ahora, supongamos que [math]a es racional
Sean [math]x;y enteros tales que [math]a=\frac xy es una fracción irreducible; es fácil ver que [math]x e [math]y son coprimos, y que [math]y\neq 0
Sea [math]r el resto de [math]x en la división por [math]y; podemos escribir [math][a]=\frac{x-r}y
Claramente [math]0\leqslant r<y
La ecuación inicial nos queda [math]\frac yx=\frac xy-\frac{x-r}y=\frac{x-(x-r)}y=\frac ry
Despejando, [math]y^2=x\cdot r; por lo que [math]x\mid y^2
Como [math]x es coprimo con [math]y y además [math]y\neq 0; también será coprimo con [math]y^2; de donde [math]x=1 (ya que [math]\frac{y^2}x es entero)
Entonces [math]r=0 si [math]y=1 y [math]r=1 para cualquier otro valor de [math]y
Si [math]r=0 entonces [math]y^2=x\cdot r=0\Rightarrow y=0; lo que es absurdo
Si [math]r=1 entonces [math]y^2=x\cdot r=1\Rightarrow y=1\Rightarrow r=0; otra vez absurdo
Por lo tanto [math]a es irracional