Sucesiones y diofánticas

[Violeta]

Sea [math]a_1, a_2, \ldots una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos. Probar que para cualquier [math]p \geq 1, existen infinitos [math]a_m que se pueden escribir de la forma:

[math]a_m = xa_p + ya_q

para ciertos enteros postivos [math]x,y y [math]q>p.

[Gianni De Rico]

Spoiler: mostrar

Por el Algoritmo de Euclides (o Identidad de Bézout) sabemos que que si [math]d=DCM(a;b), entonces existen soluciones enteras para [math]d=ax+by.
Ahora veamos que podemos elegir un número que divida a [math]3 de los enteros de la sucesión para llegar a la solución. En un grupo de [math]n+1 elementos en el cual todos son producto de al menos [math]n primos, hay tres [math]a_p, [math]a_q, [math]a_m tales que [math]DCM(a_p;a_q)\mid a_m por Palomar (pueden ser coprimos). Entonces podemos obtener una solución para [math]d=xa_p+ya_q y luego multiplicar por [math]\frac{a_m}{d} (que es entero, ya que [math]d=DCM(a_p;a_q)\Rightarrow d\mid a_m) y obtener una solución para [math]a_m=x'a_p+y'a_q. Como la sucesión es infinita, podemos dejar fijo [math]p y hacer esto para infinitos grupos de otros [math]n elementos disjuntos, por lo tanto queda demostrado que hay infinitos [math]a_m que se pueden escribir de esa manera para cada [math]p\geq 1.