Uno matriz [math]n \times n se llama argentina si para cada [math]1 \leq i \leq n, la i-ésima fila e i-ésima columna, juntas, contienen los enteros del [math]1 al [math]2n-1.
i) Probar que no existe una matriz argentina para [math]n = 1997.
ii) Probar que existe una matriz argentina para infinitos [math]n.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Probaremos que es imposible para cualquier [math]n =2m+1 impar > 3. Llamemos [math]S_k el conjunto de la fila [math]k y la columna [math]k. Una matriz es argentina si cada [math]S_k tiene exactamente uno de cada entero del [math]1 al [math]2n-1.
Si [math]a_{ij}, [math]i \neq j, [math]a_{ij} \in S_i y [math]a_{ij} \in S_j. (O sea, cada elemento que no está la diagonal principal pertenece a dos [math]S_k). Como la matriz tiene [math]n espacios en su diagonal principal, hay por lo menos [math]n-1 enteros cuyos elementos en la matriz ninguno cae sobre la diagonal principal. Solo necesitamos uno, digamos [math]x.
Como [math]x tiene que estar en cada en cada [math]S_k, hay por lo menos [math]m+1 veces el [math]x en la matriz. Pero como [math]x no está sobre la diagonal, hay [math]2m+2[math]S_k que tienen a [math]x. Ya que [math]2m+2 > n, hay por lo menos un [math]S_k que tiene dos [math]x en él. Absurdo y no hay una matriz argentina para cualquier impar, específicamente, [math]1997.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.
Ahora, asumimos que existe una matriz argentina [math]k \times k para [math]k \geq 2. Entonces, la matriz [math]2k \times 2k se puede particionar en [math]4 mini-matrices [math]k \times k. En las sub-matrices [math]k \times k superior izquierda e inferior derecha se escriben las matrices argentinas [math]k \times k que ya sabemos existen por la hipotesis inductiva. Ahora, bien, usando la nomenclatura previa de los [math]S_i, sabemos que todos los [math]S_i, 1 \leq i \leq 2k tienen exactamente uno de cada entero del [math]1 al [math]2k-1. Falta colocar los elementos del [math]2k al [math]4k-1. En la sub-matriz superior derecha colocamos los numeros del [math]2n al [math]3n-1 de tal forma que en cada columna y fila de esta sub-matriz cada entero aparezca una vez. En la sub-matriz inferior izquierda colocamos los numeros del [math]3n al [math]4n-1, con la misma condicion que antes. (Estas dos sub-matrices no son dificiles de hacer. En la primera fila se escriben los numeros en orden ascendiente y en la fila siguiente, el elemento en la posicion [math]i ahora se pone en la posicion [math]i+1, mirando mod [math]k, claro).
Ya que esta nueva matriz cumple la condicion de una matriz argentina, queda probado.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.