Uno que se me ocurrio

[Dauphineg]

Hallar todos los números de 4 cifras [math]ABCD que son iguales al cuadrado de la suma de los números de 2 cifras [math]AB y [math]CD

[Vladislao]

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Una forma segura de resolver este tipo de problemas es inspeccionar casos a mano, dado que no son tantos. No obstante, para no perder tanto tiempo, se puede hacer algún análisis para ahorrarse algunos de esos casos.

En este caso, el problema equivale a hallar [math]x,y enteros de modo que [math]10\leq x\leq 99 y [math]0\leq y\leq 99 y tales que:

[math]100x+y = (x+y)^2

De modo que, si damos un valor para [math]x (hay [math]90 posibles valores), nos queda una ecuación cuadrática que se puede despejar para obtener un valor de [math]y, y en caso de que este valor esté en el rango deseado, se concluye.

Para probar menos, notemos que la ecuación anterior, vía hacer algunos cálculos, se puede transformar en:

[math]x^2+(2y-100)x+(y^2-y)=0

Que, si la pensamos como una ecuación cuadrática en [math]x, para que haya solución (que es lo que queremos), debe pasar que su discriminante sea un cuadrado perfecto.
Es decir [math](2y-100)^2-4\cdot(y^2-y)=k^2 para algún [math]k entero. Haciendo algunos cálculos, esto es lo mismo que decir que [math]-396y+10000=k^2. En particular, debe suceder que [math]-396y+10000\geq 0, lo cual dice que [math]y\leq 25.
O sea, ahora basta "probar" [math]25 casos. No obstante, notemos que para que [math]-396y+10000 sea un cuadrado perfecto es necesario que [math]-99y+2500 también lo sea. De modo que [math]-99y+2500 debe dejar resto [math]0 ó [math]1 en la división por [math]4. En este caso, esto es lo mismo que decir que [math]y deja resto [math]0 ó [math]1 en la división por [math]4.

Luego, resta comprobar los [math]13 valores [math]\{1,4,5,8,9,12,13,16,17,20,21,24,25\}. Se puede ver que para [math]y=25 se obtienen las soluciones [math]x=20 y [math]x=30, y para [math]y=1 se obtiene la solución [math]x=98. De este modo, las únicas soluciones para el problema original son los números [math]9801, [math]3025 y [math]2025.

[Dauphineg]

Lo pensé exactamente igual que Vladislao hasta que llega a la idea [math]-99y+2500=t^2.
Luego [math]t esta entre 5 y 38. Como [math](50-t).(50+t)=9.11.y se deduce que [math]50-t o [math]50+t deberían ser múltiplos de 11 y de 9 en algún orden ya que uno es múltiplo de 11 seguro y ambos no pueden ser múltiplos de 3 porque en ese caso seria 100 (que es la suma de ellos) también múltiplo de 3 y no lo es, ademas uno de ellos no puede ser múltiplo de 99 porque [math]t esta entre 5 y 38. Suponiendo a [math]50+t múltiplo de 11 y viendo los múltiplos de 11 entre 55 y 88 que no son múltiplos de 3, los cuales son 55,77 y 88 y por consecuencia los posibles valores de [math]50-t serian respectivamente 45,23 y 12, pero solo 45 es múltiplo de 9. Luego con [math]t=5 obtenemos [math]y=25 y de aquí [math]x=20 o [math]x=30
Suponiendo a [math]50-t múltiplo de 11 y viendo los múltiplos de 11 entre 12 y 45 que no son múltiplos de 3, los cuales son 22 y 44 y por consecuencia los posibles valores de [math]50+t serian respectivamente 78 y 56 pero ninguno de ellos es múltiplo de 9
Los únicos números que verifican son 2025 y 3025
Aclaración: Descarto al 9801 únicamente porque en el enunciado dice que los números eran de 2 dígitos y 01 no lo es