22º APMO (2010) - Problema 1

[ésta]

Sea [math]ABC un triángulo con [math]\angle BAC \neq 90^\circ. Sea [math]O el circuncentro del triángulo [math]ABC y sea [math]\Gamma la circunferencia circunscrita del triángulo [math]BOC, supongamos que [math]\Gamma interseca al segmento [math]AB en el punto [math]P, distinto de [math]B, y al segmento [math]AC en [math]Q, distinto de [math]C. Sea [math]ON un diámetro de la circunferencia [math]\Gamma.
Demostrar que el cuadrilátero [math]APNQ es un paralelogramo.

[Vladislao]

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Notemos que:

$\measuredangle OAP=\measuredangle OAB=\measuredangle OBA=\measuredangle OBP=\measuredangle ONP$

Análogamente:

$\measuredangle OAQ=\measuredangle OAC=\measuredangle OCA=\measuredangle OCQ=\measuredangle ONQ$

Sumando ambas igualdades, tenemos que:

$\measuredangle OAP+\measuredangle OAQ=\measuredangle ONP+\measuredangle ONQ$

De ahí, es inmediato que:

$\measuredangle PAQ=\measuredangle PQN$ (1)

Además, como el segmento $ON$ es mediatriz del segmento $BC$, tenemos que $N$ es el punto medio del arco $BC$ de la circunferencia $\Gamma$.

Entonces, tenemos que: $\measuredangle NQC=\measuredangle NPB\Rightarrow \measuredangle AQN=\measuredangle APN$ (2).

De (1) y (2), se sigue que $APQN$ es un paralelogramo.

[Fran5]

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Otra parecida, usando angulitos

Veamos que $\angle CQN= \angle CON = \frac{ \angle COB}{2} = \angle CAB$, y análogamente para $\angle BPN$

En efecto, al estar $O$ en la mediatriz de $BC$, también lo está $N$, de modo que $ON$ es bisectriz de $\angle BOC$

Entonces en $APQN$, tenemos $\hat{P}=\hat{Q}= 180- \hat{A}$ y por tanto $\hat{A}=\hat{N}$

[franco_bongiova]

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Otra parecida, usando angulitos

Veamos que $\angle CQN= \angle CON = \frac{ \angle COB}{2} = \angle CAB$, y análogamente para $\angle BPN$

En efecto, al estar $O$ en la mediatriz de $BC$, también lo está $N$, de modo que $ON$ es bisectriz de $\angle BOC$

Entonces en $APQN$, tenemos $\hat{P}=\hat{Q}= 180- \hat{A}$ y por tanto $\hat{A}=\hat{N}$

Una pregunta.

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Como podes saber que si \angle CQN = \angle CON, 2\angle CON = \angle COB?
Si entiendo la parte de que 2\angle CAB = \angle COB. Claramente por ángulo central. Pero no veo la "relacion", vamos a decir, entre los 4.
Gracias

PD: Trate de usar LaTex desde el celular pero parece que no funciona. Cualquier cosa si dice algo tipo 2\angle significa el producto de 2 por el angulo.

[Fran5]

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Otra parecida, usando angulitos

Veamos que $\angle CQN= \angle CON = \frac{ \angle COB}{2} = \angle CAB$, y análogamente para $\angle BPN$

En efecto, al estar $O$ en la mediatriz de $BC$, también lo está $N$, de modo que $ON$ es bisectriz de $\angle BOC$

Entonces en $APQN$, tenemos $\hat{P}=\hat{Q}= 180- \hat{A}$ y por tanto $\hat{A}=\hat{N}$

Una pregunta. Como podes saber que si \angle CQN = \angle CON, 2\angle CON = \angle COB?
Si entiendo la parte de que 2\angle CAB = \angle COB. Claramente por ángulo central. Pero no veo la "relacion", vamos a decir, entre los 4.
Gracias

PD: Trate de usar LaTex desde el celular pero parece que no funciona. Cualquier cosa si dice algo tipo 2\angle significa el producto de 2 por el angulo.

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$CQN = CON$ por arco capaz en la circunferencia $\Gamma$

$2 CON = COB$ puesto que $COB = CON+NOB$ y $CON=COB$ al ser simétricos respecto de la recta $ON$ (observar que $ON$ es la mediatriz de $BC$).

$2 CAB = COB$ puesto que $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$

Espero que esa haya sido tu duda.

PD: Latex desde el celular anda, pero es complicado usarlo

[franco_bongiova]

[math]2 CON = COB puesto que [math]COB = CON+NOB y [math]CON=COB

Imagino que [math]CON = NOB, no?
Si es asi, entendi perfecto. Gracias. Esa era mi duda...

[Fran5]

Exactamente

[Gianni De Rico]

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Tenemos $OB=OC$ por ser $O$ circuncentro de $\triangle ABC$. Luego, $O$ es el punto medio de uno de los arcos $BC$ en $\Gamma$, por lo tanto, $N$ es el punto medio del otro arco $BC$ en $\Gamma$.

Sea $B\widehat AC=\alpha$. Por ser $O$ circuncentro de $\triangle ABC$ tenemos $B\widehat OC=2\alpha$. Por arco capaz en $\Gamma$, $B\widehat PC=B\widehat QC=B\widehat OC=2\alpha$. Por ser $N$ punto medio del otro arco $BC$ tenemos $C\widehat QN=\frac{1}{2}2\alpha =\alpha \Rightarrow QN\parallel AB\parallel AP$ y $B\widehat PN=\frac{1}{2}2\alpha =\alpha \Rightarrow PN\parallel AC\parallel AQ$.

Por tener dos pares de lados paralelos, $APNQ$ es un paralelogramo.