Sean [math]O_1 y [math]O_2 dos circunferencias que se cortan en los puntos [math]A y [math]B. Para cada punto [math]C del plano, consideramos [math]P_1(C) y [math]P_2(C) las potencias del punto [math]C respecto a [math]O_1 y [math]O_2 respectivamente.
Hallar el lugar geométrico de todos los puntos [math]C tales que [math]|P_1(C)| = |P_2(C)|.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Afirmo que el lugar geométrico que se pide el enunciado es la recta que determinan [math]A y [math]B que además se llama eje radical.
Demostración([math]\rightarrow): Consideremos dos circunferencias no concéntricas de centros [math]X e [math]Y y radios [math]x y [math]y respectivamente.
Supongamos que [math]P es un punto con la misma potencia a las dos circunferencias. Sea [math]M en [math]\overline{XY} tal que [math]PM \perp XY. Entonces [math]{PX^2}-{x^2}={PY^2}-{y^2}. Luego [math]{PX^2}-{x^2}-
{MP^2}={PY^2}-{y^2}-{MP^2}. Por lo tanto [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2}. Y [math]M está en el eje radical.
De [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2} tenemos que [math]{MX^2}-{MY^2}={x^2}-{y^2}. Luego [math]({MX}-{MY})({MX}+{MY})={x^2}-{y^2}. Entonces [math]({MX}-{MY}){XY}={x^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{MX}-{MY}=\frac {{x^2}-{y^2}}{XY} que es una constante. Luego el punto [math]M existe y es único. Si existiera otro punto [math]N perteneciente a [math]{XY} y al eje radical, entonces [math]{({XM}-{NX})^2}-{x^2}={(MY+NM)^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{XM^2}-{2XMNM}+{NM^2}-{x^2}={MY^2}+{2MYNM}+{NM^2}-{y^2}. De donde [math]{-2XMNM}={2MYNM}. Entonces [math]{NM(XY)=0}. Luego [math]{NM}=0\Rightarrow {N=M}.
Por lo tanto, si un punto tiene igual potencia con respecto a las dos circunferencias, entonces el punto está en una recta perpendicular a la recta que une los dos centros.
Demostración([math]\leftarrow): Si un punto está en la perpendicular a [math]{XY} que pasa por [math]M, dicho punto pertenece al eje radical. Como [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2}, entonces [math]{QM^2}+{MX^2}-{x^2}={QM^2}+{MY^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{QX^2}-{x^2}={QY^2}-{y^2}\Rightarrow Q está en el eje radical.
Ahora notemos que [math]|P_1(A)|=|P_2(A)|=|P_1(B)|=|P_2(B)|=0, lo que significa que ambos están en el eje radical de las dos circunferencias, y como dos puntos determinan una única recta mi afirmación inicial queda demostrada y el problema está resuelto.
Afirmo que el lugar geométrico que se pide el enunciado es la recta que determinan [math]A y [math]B que además se llama eje radical.
Demostración([math]\rightarrow): Consideremos dos circunferencias no concéntricas de centros [math]X e [math]Y y radios [math]x y [math]y respectivamente.
Supongamos que [math]P es un punto con la misma potencia a las dos circunferencias. Sea [math]M en [math]\overline{XY} tal que [math]PM \perp XY. Entonces [math]{PX^2}-{x^2}={PY^2}-{y^2}. Luego [math]{PX^2}-{x^2}-
{MP^2}={PY^2}-{y^2}-{MP^2}. Por lo tanto [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2}. Y [math]M está en el eje radical.
De [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2} tenemos que [math]{MX^2}-{MY^2}={x^2}-{y^2}. Luego [math]({MX}-{MY})({MX}+{MY})={x^2}-{y^2}. Entonces [math]({MX}-{MY}){XY}={x^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{MX}-{MY}=\frac {{x^2}-{y^2}}{XY} que es una constante. Luego el punto [math]M existe y es único. Si existiera otro punto [math]N perteneciente a [math]{XY} y al eje radical, entonces [math]{({XM}-{NX})^2}-{x^2}={(MY+NM)^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{XM^2}-{2XMNM}+{NM^2}-{x^2}={MY^2}+{2MYNM}+{NM^2}-{y^2}. De donde [math]{-2XMNM}={2MYNM}. Entonces [math]{NM(XY)=0}. Luego [math]{NM}=0\Rightarrow {N=M}.
Por lo tanto, si un punto tiene igual potencia con respecto a las dos circunferencias, entonces el punto está en una recta perpendicular a la recta que une los dos centros.
Demostración([math]\leftarrow): Si un punto está en la perpendicular a [math]{XY} que pasa por [math]M, dicho punto pertenece al eje radical. Como [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2}, entonces [math]{QM^2}+{MX^2}-{x^2}={QM^2}+{MY^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{QX^2}-{x^2}={QY^2}-{y^2}\Rightarrow Q está en el eje radical.
Ahora notemos que [math]|P_1(A)|=|P_2(A)|=|P_1(B)|=|P_2(B)|=0, lo que significa que ambos están en el eje radical de las dos circunferencias, y como dos puntos determinan una única recta mi afirmación inicial queda demostrada y el problema está resuelto.
No tuviste en cuenta que la potencia de un punto respecto a una circunferencia puede ser negativa, el lugar geométrico no es solo este. Ahí pongo mi solución.
Lema 1:[math]AB es perpendicular a [math]XY si y solo si [math]AX^2+BY^2=AY^2+BX^2
Demostración (sacada de oma foros):
Para la primer parte supongamos que [math]AB es perpendicular a [math]XY. Sea [math]P el punto de intersección de [math]AB y [math]XY. Por Pitágoras tenemos: [math]AX^2=PX^2+PA^2 y [math]BX^2=PX^2+PB^2 luego [math]AX^2-BX^2=PA^2-PB^2. [math]AY^2=PY^2+PA^2 y [math]BY^2=PY^2+PB^2 luego [math]AY^2-BY^2=PA^2-PB^2.
De estas dos igualdades obtenemos [math]AX^2-BX^2=AY^2-BY^2, que es equivalente a [math]AX^2+BY^2=AY^2+BX^2.
Ahora vamos con la vuelta. Supongamos que [math]AX^2+BY^2=AY^2+BX^2.
Vamos a usar Teorema del Coseno (también se puede argumentar de otra forma usando tramposética y evitar usar trigonometría).
[math]AX^2=PX^2+PA^2-2PX\cdot PA \cos(APX) [math]BX^2=PX^2+PB^2-2PX\cdot PB \cos(BPX) [math]AY^2=PY^2+PA^2-2PY\cdot PA \cos(APY) [math]BY^2=PY^2+PB^2-2PY\cdot PB \cos(BPY)
Teniamos que [math]AX^2+BY^2=AY^2+BX^2. Usando las cuatro igualdades de arriba, vemos que esto equivale a [math]{PX\cdot PA \cos(APX)+PY\cdot PB \cos(BPY)=PX\cdot PB \cos(BPX)+PY\cdot PA \cos(APY)}
Si [math]\phi=\cos(APX)=\cos(BPY)=-\cos(BPX)=-\cos(APY) nos queda: [math](PX\cdot PA+PY\cdot PB + PX\cdot PB +PY\cdot PA )\phi=0
Como el primer factor es positivo sigue que [math]\phi=0, luego [math]\cos(APX)=0. Sigue que [math]APX es recto, como queriamos ver.
Lema 2 (teorema de la mediana - Apolonio): Para todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados cualesquiera, es igual a la mitad del cuadrado del tercer lado más el doble del cuadrado de su mediana correspondiente.
Por comodidad, vamos a llamar [math]X_1 y [math]X_2 a las circunferencias, y [math]O_1, [math]O_2 a sus respectivos centros. Vamos ahora a dividir el problema en dos partes;
Parte 1: Hallar el lugar geométrico de [math]C tales que [math]P_1(C)=P_2(C).
Vamos a demostrar que este lugar es la recta [math]AB.
Para esto, notemos que la definición algebraica de potencia de un punto implica que un punto [math]C cumple esto si y sólo si [math](CO_1)^2-(O_1A)^2=(CO_2)^2-(O_2A)^2, que es equivalente a [math](CO_1)^2+(O_2A)^2=(CO_2)^2+(O_1A)^2. Luego, por el Lema 1 tenemos que [math]C cumple la condición sí y solo sí [math]AC y [math]O_1O_2 son perpendiculares, por lo que el lugar geométrico de estos puntos es la perpendicular a [math]O_1O_2 por [math]A, que es la recta [math]AB, ya que [math]O_1AO_2B es un romboide y sus diagonales son perpendiculares.
Parte 2: Hallar el lugar geométrico de [math]C tales que [math]P_1(C)=-P_2(C)
Sea [math]M el punto medio de [math]O_1O_2, vamos a demostrar que el lugar geométrico es la circunferencia de centro [math]M y radio [math]AB.
Sabemos por la definición algebraica de potencia de un punto que un punto [math]C cumple si y solo si [math](AO_1)^2+(AO_2)^2=(CO_1)^2+(CO_2)^2. Sabemos sin embargo por el Lema [math]2 que el lado izquierdo de la ecuación es igual a [math]\frac{(O_1O_2)^2}{2}+(AM)^2, y que el lado derecho es igual a [math]\frac{(O_1O_2)^2}{2}+(CM)^2, de donde restando [math]\frac{(O_1O_2)^2}{2} a cada lado, tenemos que [math]C cumple si y solo si [math](AM)^2=(CM)^2, y como estamos tomando segmentos de longitud positiva, [math]C cumple si y sólo si [math]CM=AM, por lo que el lugar geométrico de los puntos [math]C que cumplen es la circunferencia de centro [math]M y radio [math]AM.
En conclusión el lugar geométrico de todos los puntos [math]C son la recta [math]AB y la circunferencia cuyo centro esta en el punto medio del segmento que une los centros de las circunferencias y cuyo radio es [math]AM.
Afirmo que el lugar geométrico que se pide el enunciado es la recta que determinan [math]A y [math]B que además se llama eje radical.
Demostración([math]\rightarrow): Consideremos dos circunferencias no concéntricas de centros [math]X e [math]Y y radios [math]x y [math]y respectivamente.
Supongamos que [math]P es un punto con la misma potencia a las dos circunferencias. Sea [math]M en [math]\overline{XY} tal que [math]PM \perp XY. Entonces [math]{PX^2}-{x^2}={PY^2}-{y^2}. Luego [math]{PX^2}-{x^2}-
{MP^2}={PY^2}-{y^2}-{MP^2}. Por lo tanto [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2}. Y [math]M está en el eje radical.
De [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2} tenemos que [math]{MX^2}-{MY^2}={x^2}-{y^2}. Luego [math]({MX}-{MY})({MX}+{MY})={x^2}-{y^2}. Entonces [math]({MX}-{MY}){XY}={x^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{MX}-{MY}=\frac {{x^2}-{y^2}}{XY} que es una constante. Luego el punto [math]M existe y es único. Si existiera otro punto [math]N perteneciente a [math]{XY} y al eje radical, entonces [math]{({XM}-{NX})^2}-{x^2}={(MY+NM)^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{XM^2}-{2XMNM}+{NM^2}-{x^2}={MY^2}+{2MYNM}+{NM^2}-{y^2}. De donde [math]{-2XMNM}={2MYNM}. Entonces [math]{NM(XY)=0}. Luego [math]{NM}=0\Rightarrow {N=M}.
Por lo tanto, si un punto tiene igual potencia con respecto a las dos circunferencias, entonces el punto está en una recta perpendicular a la recta que une los dos centros.
Demostración([math]\leftarrow): Si un punto está en la perpendicular a [math]{XY} que pasa por [math]M, dicho punto pertenece al eje radical. Como [math]{MX^2}-{x^2}={MY^2}-{y^2}, entonces [math]{QM^2}+{MX^2}-{x^2}={QM^2}+{MY^2}-{y^2}. Por lo tanto [math]{QX^2}-{x^2}={QY^2}-{y^2}\Rightarrow Q está en el eje radical.
Ahora notemos que [math]|P_1(A)|=|P_2(A)|=|P_1(B)|=|P_2(B)|=0, lo que significa que ambos están en el eje radical de las dos circunferencias, y como dos puntos determinan una única recta mi afirmación inicial queda demostrada y el problema está resuelto.
No tuviste en cuenta que la potencia de un punto respecto a una circunferencia puede ser negativa, el lugar geométrico no es solo este. Ahí pongo mi solución.