Intercolegial 2017 N3 P3

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Matías V5

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Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 »

Los cuadrados de la figura tienen lados de longitudes [math], [math] y [math] de izquierda a derecha. Calcular la medida del área sombreada.
Imagen
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=KzTR72_srTU
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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

Solución corta, si no tenés ganas de escribir:
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Llamamos $x$ e $y$ a las bases mayor y menor del trapecio sombreado, respectivamente.
El área del trapecio es $\frac{(x+y)h}{2}$.

Por Thales $\frac{x}{5}=\frac{5}{10}\Rightarrow x=\frac{5}{2}$ y también $\frac{y}{2}=\frac{5}{10}\Rightarrow y=1$.
Y por dato $h=3$.

Luego, la medida del área sombreada es $A=\frac{3\left (\frac{5}{2}+1\right )}{2}=\frac{7}{2}\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=\frac{21}{4}=5,25$.
1  
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Fran5

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Re: Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Fran5 »

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Si le agregamos al trapecio el triangulito de la izquierda, tenemos que el area del trapecio es igual al area del triangulo mediano menos el area del triangulo chico, los cuales son semejantes y tienen sus catetos en la proporción [math]

Luego, como sus bases son [math] y [math] respectivamente, tenemos que el area del trapecio es

[math]
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AgusBarreto

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Re: Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por AgusBarreto »

Para seres sin sentido del gusto como el compañero @FaC7oR
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[math]
5  
Nowhereman

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Re: Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Nowhereman »

AgusBarreto escribió:Para seres sin sentido del gusto como el compañero @FaC7oR
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[math]
Jajajaja :lol: :lol: :lol: :lol:
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Gianni De Rico

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Re: Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

AgusBarreto escribió:Para seres sin sentido del gusto como el compañero @FaC7oR
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[math]
Like por la originalidad 8-)
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ricarlos
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Re: Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por ricarlos »

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Luego de deducir con Tales los lados paralelos del trapecio en cuestion (y NO querer usar la formula correspondiente) tenemos,
El area verde es la cuarta parte del area del cuadrado de lado 2 es decir 4/4=1
El area roja es la cuarta parte del area del cuadrado de lado 5 es decir 25/4
El area roja=verde+gris.
Entonces el area gris es (25/4)-1=21/4.
mVbnPs0.png
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
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drynshock

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Re: Intercolegial 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por drynshock »

Solución para los mortales:
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Veamos que podemos plantear Thales de la siguiente manera:
Sea x el corte de la hipotenusa con el primer cuadrado.
Sea y el corte de la hipotenusa con el segundo cuadrado.

$\frac{5}{10} = \frac{y}{5} = \frac{x}{2}$

Despejando se llega a que $x = 1, y = \frac{5}{2}$

Por la formula del área del trapecio tenemos que:

$A = \frac{(1 + \frac{5}{2}).3}{2}$
$A = \frac{21}{4}$
Solución que no queres ver:
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Por favor, conformate con la solucion de arriba
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Enserio, con Thales sale mas facil
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Este tema no entra en las olimpiadas, no es necesario que lo sepas.
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Por favor administradores de OMA, no me reten :roll:
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Llamemos al vértice de abajo a la izquierda del primer cuadrado el punto (0;0).
El vértice de arriba a la derecha del ultimo cuadrado va a tener que ser el punto (10;5)

Calculemos la pendiente de la recta que pasa por estos dos puntos (En otras palabras, la hipotenusa del triangulo grande)

$m = \frac{5 - 0}{10 - 0}$
$m = \frac{1}{2}$

Reemplazando en la ecuación de la recta tenemos:

$y = mx + b$
$y = \frac{1}{2}x $ // b es 0 ya que pasa por el (0;0)

Ahora calculamos la integral definida entre el punto 2 y 5.

$\displaystyle\int_{2}^{5} \frac{1}{2}x dx$
$\frac{1}{2} \displaystyle\int_{2}^{5} x dx$
$\frac{1}{2} [\frac{x^2}{2}]_{2}^{5}$
$\frac{1}{2}(\frac{5^2}{2} - \frac{2^2}{2}) = \frac{21}{4}$
$\displaystyle\int_{2}^{5} \frac{1}{2}x dx = \frac{21}{4}$

Entonces el área abajo de la recta (el trapecio) es $\frac{21}{4}$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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