PROBLEMA 6 ONEM 2004

[Max]

En la figura, se tiene una circunferencia de centro O que es tangente a dos de los lados del rectángulo ABCD. Si ABCD tiene un área de 12 cm2, halla el área de la región sombreada

[Gianni De Rico]

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Sea [math]P el punto de tangencia de la circunferencia con el lado [math]BC, queremos calcular [math](APDO), entonces [math](APD)=\frac{1}{2}(ABCD). Como la circunferencia es tangente a los dos lados, [math]PO=\frac{1}{2}AB\Rightarrow (AOD)=\frac{1}{2}(APD)\Rightarrow (APDO)=(APD)-(AOD)=(APD)-\frac{1}{2}(APD)=\frac{1}{2}(APD)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}(ABCD)=\frac{1}{4}(ABCD)=\frac{12}{4}=3

El área de la región sombreada es de [math]3cm^2

Nota: [math](XYZ) es el área del polígono de vértices [math]X,Y,Z

[Gianni De Rico]

¿De qué nivel/instancia sería aproximadamente este problema? Para ser un problema [math]6 era bastante sencillo, solamente requiere un poco de conocimiento de áreas de los triángulos y de rectas tangentes.

[Emerson Soriano]

En la ONEM hay cuatro fases y tres niveles. En la primera fase hay 20 preguntas (2 horas), en la segunda fase hay 10 preguntas (2 horas), en la tercera fase hay 10 preguntas (2 horas) y en la cuarta fase hay 4 preguntas (4 horas). Sólo en la cuarta fase las soluciones se redactan, en las demás fases sólo se indica la respuesta. Además, sólo en la primera fase cada pregunta tiene 5 alternativas.

Por eso que un problema 6 no necesariamente es difícil en la ONEM. En ese problema, se ve que tiene 5 alternativas, entonces debe corresponder a un examen de primera fase. Es la pregunta 6 de 20, así que debe ser sencillo.

[Violeta]

En la ONEM hay cuatro fases y tres niveles. En la primera fase hay 20 preguntas (2 horas), en la segunda fase hay 10 preguntas (2 horas), en la tercera fase hay 10 preguntas (2 horas) y en la cuarta fase hay 4 preguntas (4 horas). Sólo en la cuarta fase las soluciones se redactan, en las demás fases sólo se indica la respuesta. Además, sólo en la primera fase cada pregunta tiene 5 alternativas.

Por eso que un problema 6 no necesariamente es difícil en la ONEM. En ese problema, se ve que tiene 5 alternativas, entonces debe corresponder a un examen de primera fase. Es la pregunta 6 de 20, así que debe ser sencillo.

De que pais es la ONEM? Peru?

[Emerson Soriano]

Sí

[FaC7oR]

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Sea [math]r el radio de la circunferencia, consideremos el tríangulo de base [math]AD y altura [math]2r
Es fácil ver que el área de ese tríangulo es la mitad del área del rectángulo
Luego consideramos el triángulo de base [math]AD y altura [math]r, es claro que este tiene la mitad del área del primer triángulo que mencionamos (tiene la mitad de la altura que el primero, con eso alcanza para que quede demostrado)
Por lo que el área sombrada es la cuarta parte de la del rectángulo, [math]12/4=3 y estamos