Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

[Violeta]

En el triángulo [math]ABC, la altura por [math]B interseca a [math]AC en [math]E y la altura por [math]C interseca a [math]AB en [math]F. El punto [math]T es tal que [math]AETF es un paralelogramo y [math]A y [math]T caen en semiplanos distintos respecto a la recta [math]EF. El punto [math]D es tal que [math]ABDC es un paralelogramo y [math]A y [math]D caen en distintos semiplanos respecto a la recta [math]BC.

Probar que [math]T, [math]D y el ortocentro de [math]ABC son colineales.

NOTA: El ortocentro de un triángulo es el punto de concurrencia de sus alturas.

[jujumas]

Solución:

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Sea [math]H el ortocentro de [math]ABC, sean [math]M, [math]N, [math]L los puntos medios de [math]BC, [math]EF y [math]AH, sea [math]O el circucentro de [math]ABC sea [math]P el reflejo de [math]H por [math]N y sea [math]Q el reflejo de [math]H por [math]M.

Notemos que [math]P es ortocentro de [math]AFE, ya que [math]FP es paralela a [math]EB, que es perpendicular a [math]AE, y [math]EP es perpendicular a [math]AF. Además, [math]AEF y [math]ABC son semejantes, por lo que reflejando a [math]P por la bisectriz del ángulo [math]A, esta cae en [math]AH, y como [math]O y [math]H son conjugados isogonales, [math]A, [math]P y [math]O son colineales, por lo que [math]AP es diámetro del circuncírculo de [math]ABC.

Notemos además que por reflexión del ortocentro, [math]AQ es diámetro del circuncírculo de [math]ABC. Luego, [math]A, [math]P y [math]Q son colineales.

Una homotecia de centro [math]H y razón de un medio manda a la recta [math]APQ a la recta [math]LNM, y una homotecia de centro [math]A y razón [math]2 manda a la recta [math]LMN a la recta [math]HTD, lo que demuestra lo pedido.

[Gianni De Rico]

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Sea [math]H el ortocentro de [math]ABC, sean [math]L, [math]M, [math]N los puntos medios de [math]BC, [math]EF y [math]AH, sea [math]O el circucentro de [math]ABC sea [math]P el reflejo de [math]H por [math]N

No leí toda la solución, pero

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Si [math]N es punto medio de [math]AH, y después reflejás [math]H por [math]N, ¿No te queda [math]P=A?

Y entonces

[math]FP es paralela a [math]EB

no es del todo correcto, ya que implicaría que [math]E pertenece a la recta [math]AB, pero como [math]E\in AC, entonces [math]E=A y el [math]\triangle ABC sería rectángulo, que es un caso particular.

[jujumas]

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Sea [math]H el ortocentro de [math]ABC, sean [math]L, [math]M, [math]N los puntos medios de [math]BC, [math]EF y [math]AH, sea [math]O el circucentro de [math]ABC sea [math]P el reflejo de [math]H por [math]N

No leí toda la solución, pero

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Si [math]N es punto medio de [math]AH, y después reflejás [math]H por [math]N, ¿No te queda [math]P=A?

Y entonces

[math]FP es paralela a [math]EB

no es del todo correcto, ya que implicaría que [math]E pertenece a la recta [math]AB, pero como [math]E\in AC, entonces [math]E=A y el [math]\triangle ABC sería rectángulo, que es un caso particular.

Editado. Al principio definiendo los puntos se me mezclaron [math]L, [math]N y [math]M.

[Fran5]

Casi trivial el problema

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Basta ver que las rectas [math]TH y [math]DH son paralelas, donde [math]H es el ortocentro de [math]ABC.

[math]TH es perpendicular a [math]EF porque [math]H tambien es el ortocentro de [math]EFT

[math]DH es perpendicular a [math]EF pues [math]MN es base media de [math]AHD y [math]MN es perpendicular a [math]EF por esto.
([math]M es el punto medio de [math]BC, [math]N es el punto medio de [math]AH)

Luego [math]T,D,H son colineales