Se tiene un cuadrilátero convexo $ABCD$ de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, con $AB = BD = 8$ y $CD = DA = 6$. Sean $P$ en el lado $AB$ tal que $DP$ es bisectriz del ángulo $A\widehat{D}B$ y $Q$ en el lado $BC$ tal que $DQ$ es bisectriz del ángulo $C\widehat{D}B$. Determinar el valor del radio de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $DPQ$.
Por el teorema de la bisectriz en los triangulos ADB y BDC tenemos que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $ de esto tenemos que PQ y CA son paralelas.
Ahora sea $\angle ADP=\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\angle QDC=\alpha$ entonces como CD=DA=6 entonces $\angle DAC=\angle DCA= 90-\alpha-\beta$.
Sea X y Y los puntos de interseccion de AC con PD y QD respectivamente.Entonces $\angle DXY=\angle ADX+\angle PDA=90-\alpha$ y como PQ y CA son paralelas tenemos que $\angle DPQ=\angle DXY=90-\alpha$ analogamente $\angle PQD=90-\beta$ y como $\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\alpha$ entonces el circuncirculo O del triangulo PQD esta en BD.
Tracemos la circunferencia de centro $D$ y radio $DA=DC=6$, prolonguemos $BD$ hasta que corte a dicha circunferencia en $E$, de modo que $D$ esté entre $E$ y $B$. Entonces $DE=DA=DC=6$.
Por el Teorema de la Bisectriz, $\frac{BP}{PA}=\frac{BD}{DA}=\frac{BD}{DE}$ y $\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DC}=\frac{BD}{DE}$, entonces $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DE}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Luego, $\frac{BA}{BP}=\frac{BC}{BQ}=\frac{BE}{BD}=\frac{7}{4}$ y las circunscriptas a $\triangle ACE$ y $\triangle DPQ$ son homotéticas de centro $B$.
Si $r$ es el radio de la circunscripta a $\triangle DPQ$, entonces $\frac{DE}{r}=\frac{7}{4}\Rightarrow r=\frac{4DE}{7}$, como $DE=6$ resulta $r=\frac{24}{7}$
Con esta demostración no importa si $ABCD$ es convexo o no, más aún no importa tampoco si sus lados se intersectan en otros puntos además de sus extremos.
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Por el teorema de la bisectriz en los triangulos ADB y BDC tenemos que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $ de esto tenemos que PQ y CA son paralelas.
Ahora sea $\angle ADP=\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\angle QDC=\alpha$ entonces como CD=DA=6 entonces $\angle DAC=\angle DCA= 90-\alpha-\beta$.
Sea X y Y los puntos de interseccion de AC con PD y QD respectivamente.Entonces $\angle DXY=\angle ADX+\angle PDA=90-\alpha$ y como PQ y CA son paralelas tenemos que $\angle DPQ=\angle DXY=90-\alpha$ analogamente $\angle PQD=90-\beta$ y como $\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\alpha$ entonces el circuncirculo O del triangulo PQD esta en BD.
No entiendo como sacaste con teorema de la bisectriz que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $
En todo caso es correcto decir que $\frac{BP}{PA}=\frac{BD}{DA}=\frac{8}{6} $ o bien $\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DC} $ pero no entiendo cómo llegaste a combinar las dos expresiones.
Por el teorema de la bisectriz en los triangulos ADB y BDC tenemos que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $ de esto tenemos que PQ y CA son paralelas.
Ahora sea $\angle ADP=\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\angle QDC=\alpha$ entonces como CD=DA=6 entonces $\angle DAC=\angle DCA= 90-\alpha-\beta$.
Sea X y Y los puntos de interseccion de AC con PD y QD respectivamente.Entonces $\angle DXY=\angle ADX+\angle PDA=90-\alpha$ y como PQ y CA son paralelas tenemos que $\angle DPQ=\angle DXY=90-\alpha$ analogamente $\angle PQD=90-\beta$ y como $\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\alpha$ entonces el circuncirculo O del triangulo PQD esta en BD.
No entiendo como sacaste con teorema de la bisectriz que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $
En todo caso es correcto decir que $\frac{BP}{PA}=\frac{BD}{DA}=\frac{8}{6} $ o bien $\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DC} $ pero no entiendo cómo llegaste a combinar las dos expresiones.
Por el teorema de la bisectriz en los triangulos ADB y BDC tenemos que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $ de esto tenemos que PQ y CA son paralelas.
Ahora sea $\angle ADP=\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\angle QDC=\alpha$ entonces como CD=DA=6 entonces $\angle DAC=\angle DCA= 90-\alpha-\beta$.
Sea X y Y los puntos de interseccion de AC con PD y QD respectivamente.Entonces $\angle DXY=\angle ADX+\angle PDA=90-\alpha$ y como PQ y CA son paralelas tenemos que $\angle DPQ=\angle DXY=90-\alpha$ analogamente $\angle PQD=90-\beta$ y como $\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\alpha$ entonces el circuncirculo O del triangulo PQD esta en BD.
No entiendo como sacaste con teorema de la bisectriz que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $
En todo caso es correcto decir que $\frac{BP}{PA}=\frac{BD}{DA}=\frac{8}{6} $ o bien $\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DC} $ pero no entiendo cómo llegaste a combinar las dos expresiones.
