ONEM 2017 - Fase 2 - Nivel 3 - P8

[Emerson Soriano]

Mario va a escoger algunas casillas de un tablero de $8\times 9$ y en cada casilla escogida él va a trazar una o dos diagonales, de tal forma que en todo el tablero no haya dos diagonales que compartan un extremo (tenga en cuenta que cada diagonal trazada tiene dos extremos). Determine cuántas diagonales, como máximo, puede trazar Mario en todo el tablero.

[¿hola?]

Spoiler: mostrar

Pintaremos los vértices de las casillas del tablero de la siguiente forma (hay $10.9 = 90$ vértices)

141414141
323232323
141414141
323232323
141414141
323232323
141414141
323232323
141414141
323232323

Miremos que toda diagonal se "apoya" en un vértice de color $4$ o un vértice de color $2$.
como solo hay $20$ vértices de color $2$ y $20$ vértices de color $4$ entonces tenemos un máximo de $40$ diagonales.
El ejemplo es trivial.