34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 5

[Nacho]

En el plano, inicialmente sin colorear, se eligen tres puntos y se los colorea de rojo, azul y amarillo. A continuación en cada paso se eligen dos puntos de colores distintos. Luego, se colorea otro punto con el tercer color de modo que estos tres puntos formen un triángulo equilátero con sus vértices coloreados en "rojo, azul, amarillo" en el sentido de las agujas del reloj. Un punto que ya fue marcado se puede marcar nuevamente, de modo que ese punto puede tener más de un color. Demostrar que para cualquier número de pasos, todos los puntos que contienen el mismo color pertenecen a la misma recta. (7 puntos)

[Joacoini]

Solución Oficial.

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En lo que sigue llamaremos rotación simple a una rotación de $60º$ en el sentido de las agujas del reloj. Denotamos los puntos dados con $R$, $A$ y $L$. Construimos un punto $R'$ correspondiente a $A$ y $L$, y un punto $A'$ correspondiente a $L$ y $R$. Entonces la rotación simple con centro en $L$ transforma el segmento $\overline{R'R}$ en $\overline{AA'}$. (Si al menos uno de estos segmentos degenera en un punto entonces el triángulo $RAL$ es regular y sus vértices están nombrados en el sentido de las agujas del reloj; en este caso no se generan nuevos puntos.)
Entonces la recta $\overline{R'R}$ se transforma en la recta $\overline{AA'}$ por una rotación con centro el punto común a ambas rectas, O. Llamemos a la primera recta roja y a la segunda azul, y a la recta que se obtiene por una rotación simple de la recta azul con centro en O la llamaremos amarilla. Observamos que una rotación simple con centro en cualquier punto $R_1$ de la recta roja transforma la recta azul en la recta amarilla, pues las distancias de $R_1$ a estas recta son iguales. En consecuencia, si construimos un punto $L_1$ correspondiente a dos puntos arbitrarios $A_1$ y $R_1$ de la recta azul y la roja,respectivamente, obtenemos la recta amarilla. De modo similar, dados dos puntos en rectas de distinto color, un punto construido de acuerdo con la regla estará en la recta del tercer color.