Maratón de Problemas
Re: Maratón de Problemas
Bien, te toca proponer.
Todo problema profana un misterio; a su vez, al problema lo profana su solución.
Re: Maratón de Problemas
Problema 309
Hallar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a\geq b$ y $a^b\geq b^a$
Hallar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a\geq b$ y $a^b\geq b^a$
Re: Maratón de Problemas
Solución al 309
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Re: Maratón de Problemas
Problema 310
Halle todas las soluciones reales de la ecuación
$$ (x^{2018} + 1)(1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016}) = 2018x^{2017}. $$
Halle todas las soluciones reales de la ecuación
$$ (x^{2018} + 1)(1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016}) = 2018x^{2017}. $$
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Gianni De Rico
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Re: Maratón de Problemas
Tienes una buena idea de lo que ocurre, pero creo que falta un poco de rigor. El miembro izquierdo es efectivamente una función positiva, cóncava hacia arriba y con mínimo 1 que alcanza en $x=0$, pero no es una cuadrática. ¿Y cómo deduces que la diferencia con el derecho tiene a lo sumo dos raíces?
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Turko Arias
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Re: Maratón de Problemas
Creo que lo de las $2$ raíces se puede ver medio a ojímetro, basicamente porque la gráfica de $f$ sería una $U$ y no tendría ningún garabato raro en el medio y la gráfica de $2018x^{2017}$ sería parecida a la de $x^3$, por lo que tiene sentido que esas dos cosas tengan a lo sumo dos puntos de intersección. Otra forma pava de ver que tienen esa forma las gráficas que no sea tan al boleo sería ver la derivada para ver que efectivamente tienen esa forma, o seguro hay una manera más rigurosa menos derivativa, pero creo que es algo que se puede deducir.jhn escribió: ↑Mar 10 Abr, 2018 5:01 am Tienes una buena idea de lo que ocurre, pero creo que falta un poco de rigor. El miembro izquierdo es efectivamente una función positiva, cóncava hacia arriba y con mínimo 1 que alcanza en $x=0$, pero no es una cuadrática. ¿Y cómo deduces que la diferencia con el derecho tiene a lo sumo dos raíces?
Fundamentalista del Aire Acondicionado
Y todo el orgullo de ser bien bilardista
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Re: Maratón de Problemas
La solución de Matías es completa y rigurosa (ingenioso el cambio de la variable $i$ por $n+1-i$ en las sumas de 1 a $n$) y creo que es quien debería proponer el siguiente problema.
Pero hay una solución más sencilla y en el espíritu de las olimpiadas matemáticas. En primer lugar observamos que el miembro izquierdo es $\ge 1$ y por lo tanto debe ser $x>0$. Ahora por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene
$$ x^{2018} + 1\ge 2\sqrt{x^{2018}\cdot 1}=2x^{1009}$$
con igualdad si y sólo si $x=1$, y también
$$1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016} \ge 1009\sqrt[1009]{x^{2+4+6+\cdots+2016}}=1009x^{\frac{2018\cdot 1008}{2\cdot 1009}}=1009x^{1008}$$
con igualdad si y sólo si $x=1$. Multiplicando ambas desigualdades resulta
$$ (x^{2018} + 1)(1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016}) \ge 2018x^{2017} $$
con igualdad si y sólo si $x=1$, es decir que la única solución real es $x=1$.
Pero hay una solución más sencilla y en el espíritu de las olimpiadas matemáticas. En primer lugar observamos que el miembro izquierdo es $\ge 1$ y por lo tanto debe ser $x>0$. Ahora por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene
$$ x^{2018} + 1\ge 2\sqrt{x^{2018}\cdot 1}=2x^{1009}$$
con igualdad si y sólo si $x=1$, y también
$$1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016} \ge 1009\sqrt[1009]{x^{2+4+6+\cdots+2016}}=1009x^{\frac{2018\cdot 1008}{2\cdot 1009}}=1009x^{1008}$$
con igualdad si y sólo si $x=1$. Multiplicando ambas desigualdades resulta
$$ (x^{2018} + 1)(1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016}) \ge 2018x^{2017} $$
con igualdad si y sólo si $x=1$, es decir que la única solución real es $x=1$.
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Re: Maratón de Problemas
Problema 311
Judith y Julia, por turnos, colocan un caballo sobre un tablero de ajedrez, en una casilla que no está ocupada o amenazada por alguno de los caballos ya presentes en el tablero. Empieza Judith, con el tablero vacío. La que no pueda jugar en su turno pierde. Determinar cuál de las dos tiene la estrategia ganadora.
Judith y Julia, por turnos, colocan un caballo sobre un tablero de ajedrez, en una casilla que no está ocupada o amenazada por alguno de los caballos ya presentes en el tablero. Empieza Judith, con el tablero vacío. La que no pueda jugar en su turno pierde. Determinar cuál de las dos tiene la estrategia ganadora.