Maratón de Problemas

[jhn]

Bien, te toca proponer.

[Matías]

Problema 309
Hallar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $a\geq b$ y $a^b\geq b^a$

[jhn]

Solución al 309

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Es claro que todos los pares $(a,a)$ y $(a,1)$ cumplen la condición. Además de estos, los únicos que cumplen son (3,2) y (4,2). En efecto, $a^b\geq b^a$ equivale a
$a^{\frac{1}{a}}\geq b^{\frac{1}{b}}$. Pero $$ 1^1<2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}>4^{\frac{1}{4}}>5^{\frac{1}{5}}
>6^{\frac{1}{6}}>\cdots \qquad\qquad (*)$$
de donde se sigue inmediatamente lo afirmado. Hay varias formas de probar (*), por ejemplo estudiando el crecimiento y decrecimiento de la función $x^{\frac{1}{x}}$. Una prueba elemental se puede obtener usando el hecho bien conocido de que la sucesión $(1+\frac{1}{n})^n$ es creciente y acotada superiormente por 3 (de hecho, converge al número $e$). Por lo tanto para $n\ge 3$ se tiene $(\frac{n+1}{n})^n< 3\le n$, de donde $(n+1)^n< n^{n+1}$ y $(n+1)^{\frac{1}{n+1}}>n^{\frac{1}{n}}$.

[jhn]

Problema 310
Halle todas las soluciones reales de la ecuación
$$ (x^{2018} + 1)(1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016}) = 2018x^{2017}. $$

[Gianni De Rico]

Solución 310

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Cada uno de los factores del LHS es una suma de cuadrados (incluyendo al $1$), por lo tanto, es positivo, luego, el RHS es positivo y por lo tanto $x$ es positivo. (*)

Tenemos que $x^{2018}+1$ y $\sum _{i=0}^{1008} x^{2i}$ son cuadráticas con todos coeficientes positivos, por lo tanto, $f(x)=(x^{2018}+1)(\sum _{i=0}^{1008} x^{2i})$ es una cuadrática cóncava hacia arriba y con el vértice en el eje $y$, por encima del eje $x$. Luego, $g(x)=f(x)-2018x^{2017}$ tiene a lo sumo $2$ raíces, una positiva y otra negativa. Pero ya vimos en (*) que no tiene raíces negativas, de donde tiene a lo sumo una raíz. Se ve fácil que $x=1$ es una raíz, por lo tanto, es la única.

[jhn]

Tienes una buena idea de lo que ocurre, pero creo que falta un poco de rigor. El miembro izquierdo es efectivamente una función positiva, cóncava hacia arriba y con mínimo 1 que alcanza en $x=0$, pero no es una cuadrática. ¿Y cómo deduces que la diferencia con el derecho tiene a lo sumo dos raíces?

[Turko Arias]

Tienes una buena idea de lo que ocurre, pero creo que falta un poco de rigor. El miembro izquierdo es efectivamente una función positiva, cóncava hacia arriba y con mínimo 1 que alcanza en $x=0$, pero no es una cuadrática. ¿Y cómo deduces que la diferencia con el derecho tiene a lo sumo dos raíces?

Creo que lo de las $2$ raíces se puede ver medio a ojímetro, basicamente porque la gráfica de $f$ sería una $U$ y no tendría ningún garabato raro en el medio y la gráfica de $2018x^{2017}$ sería parecida a la de $x^3$, por lo que tiene sentido que esas dos cosas tengan a lo sumo dos puntos de intersección. Otra forma pava de ver que tienen esa forma las gráficas que no sea tan al boleo sería ver la derivada para ver que efectivamente tienen esa forma, o seguro hay una manera más rigurosa menos derivativa, pero creo que es algo que se puede deducir.

[Matías]

Solución 310

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Primero veamos que debe ser $x>0$, ya que sino nos queda que $(1+x^{2018})(1+x^2+x^4+...+x^{2016})\geq 1$ y $2018x^{2017}\leq 0$

Vamos a demostrar que $\forall n\in N$ y $\forall x>0$ tenemos que
$$\sum_{i=0}^{2n-1} x^{2i}\geq2nx^{2n-1}$$
y la igualdad se cumple si y sólo si $x=1$
Para $n=1$ nos queda que $1+x^2\geq 2x$, lo cual se cumple, con igualdad solo en $x=1$, ya que $(x-1)^2\geq 0$
Ahora sabiendo que la desigualdad se cumple para $n$, vamos a demostrar que se cumple para $n+1$:
$\sum_{i=0}^{2n-1} x^{2i}\geq2nx^{2n-1}$
$x^2\sum_{i=0}^{2n-1} x^{2i}\geq x^22nx^{2n-1}$
$\sum_{i=1}^{2n} x^{2i}\geq2nx^{2n+1}$
$\frac{n+1}{n}\sum_{i=1}^{2n} x^{2i}\geq2(n+1)x^{2n+1}$
Ahora vamos a demostrar que $\sum_{i=0}^{2n+1} x^{2i}\geq \frac{n+1}{n}\sum_{i=1}^{2n} x^{2i}$ con igualdad solo en $x=1$:
$n(1+\sum_{i=1}^{2n} x^{2i}+x^{4n+2})\geq (n+1)\sum_{i=1}^{2n} x^{2i}$
$n+nx^{4n+2}\geq \sum_{i=1}^{2n} x^{2i}$
$\sum_{i=1}^{n} 1+\sum_{i=1}^{n} x^{4n+2}\geq\sum_{i=1}^{n} x^{2i}+\sum_{i=1}^{n} x^{2(i+n)}$
Si $x=1$ está claro que la igualdad se cumple
Si $x<1$:
$\sum_{i=1}^{n} (1-x^{2i})\geq \sum_{i=1}^{n} (x^{2(i+n)}-x^{4n+2})$
$\sum_{i=1}^{n} (1-x^{2i})\geq \sum_{i=1}^{n} (x^{2(i+n)}(1-x^{2n+2-2i}))$
$\sum_{i=1}^{n} (1-x^{2i})\geq \sum_{i=1}^{n} (x^{2((n+1-i)+n)}(1-x^{2n+2-2(n+1-i)}))$
$\sum_{i=1}^{n} (1-x^{2i})\geq \sum_{i=1}^{n} (x^{2(2n+1-i)}(1-x^{2i}))$
Tenemos que la desigualdad se cumple y es estricta ya que $1-x^{2i}>0$ y $x^{2(2n+1-i)}<1$ $\forall 1\leq i\leq n$
Si $x>1$:
$\sum_{i=1}^{n} (x^{4n+2}-x^{2(i+n)})\geq \sum_{i=1}^{n} (x^{2i}-1)$
$\sum_{i=1}^{n} (x^{2(i+n)}(x^{2(n-i+1)}-1))\geq \sum_{i=1}^{n} (x^{2i}-1)$
$\sum_{i=1}^{n} (x^{2((n+1-i)+n)}(x^{2i}-1))\geq \sum_{i=1}^{n} (x^{2i}-1)$
Tenemos que la desigualdad se cumple y es estricta ya que $x^{2i}-1>0$ y $x^{2(2n+1-i)}>1$ $\forall 1\leq i\leq n$
Por lo tanto obtenemos que $\sum_{i=0}^{2n+1} x^{2i}\geq 2(n+1)x^{2n+1}$ con igualdad solo en $x=1$, por lo que la desigualdad cumple para $n+1$ y completamos el paso inductivo
Ahora bien, tomando $n=1009$ obtenemos que:
$$\sum_{i=0}^{2017} x^{2i}\geq 2018x^{2017}$$
$$(1+x^{2018})\sum_{i=0}^{1008} x^{2i}\geq 2018x^{2017}$$
con igualdad sólo en $x=1$, por lo tanto conluimos que el único real $x$ tal que $(1+x^{2018})\sum_{i=0}^{1008} x^{2i}=2018x^{2017}$ es $x=1$

[jhn]

La solución de Matías es completa y rigurosa (ingenioso el cambio de la variable $i$ por $n+1-i$ en las sumas de 1 a $n$) y creo que es quien debería proponer el siguiente problema.

Pero hay una solución más sencilla y en el espíritu de las olimpiadas matemáticas. En primer lugar observamos que el miembro izquierdo es $\ge 1$ y por lo tanto debe ser $x>0$. Ahora por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se tiene
$$ x^{2018} + 1\ge 2\sqrt{x^{2018}\cdot 1}=2x^{1009}$$
con igualdad si y sólo si $x=1$, y también
$$1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016} \ge 1009\sqrt[1009]{x^{2+4+6+\cdots+2016}}=1009x^{\frac{2018\cdot 1008}{2\cdot 1009}}=1009x^{1008}$$
con igualdad si y sólo si $x=1$. Multiplicando ambas desigualdades resulta
$$ (x^{2018} + 1)(1 + x^2 + x^4 +\cdots+ x^{2016}) \ge 2018x^{2017} $$
con igualdad si y sólo si $x=1$, es decir que la única solución real es $x=1$.

[Matías]

Problema 311
Judith y Julia, por turnos, colocan un caballo sobre un tablero de ajedrez, en una casilla que no está ocupada o amenazada por alguno de los caballos ya presentes en el tablero. Empieza Judith, con el tablero vacío. La que no pueda jugar en su turno pierde. Determinar cuál de las dos tiene la estrategia ganadora.