Alex y Blas juegan a un juego. Comienza Alex. Cada uno en su turno elige un número entero entre $1$ y $100$, que no haya sido elegido por ninguno de ellos en las jugadas anteriores. Un jugador pierde si después de su turno, la suma de todos los enteros elegidos por ambos jugadores desde el comienzo del juego, no se puede escribir como la diferencia de los cuadrados de dos enteros. Determinar cuál jugador tiene estrategia ganadora y dar dicha estrategia.
vamos a demostrar que gana Alex.
es sabido que un numero múltiplo de $4$ puede escribirse como diferencia de cuadrados $(k+2)^2-k^2=4k+4$ que es múltiplo de $4$ ($k$ puede ser $0$).
ahora si un numero es congruente a $2$ modulo $4$ no se puede escribir como diferencia de cuadrados por que un cuadrado perfecto es congruente con $1$ o $0$ modulo cuatro y las diferencias posibles son $1-0$, $1-1$, $0-1$, $0-0$ y ninguno es congruente con $2$ modulo $4$.
congruencia $2$ modulo $4$ es congruencia $2$ o $6$ modulo $8$.
ahora veamos que de $1$ a $100$ hay
$13$ numeros congruentes con $1$ modulo $8$
$13$ numeros congruentes con $2$ modulo $8$
$13$ numeros congruentes con $3$ modulo $8$
$13$ numeros congruentes con $4$ modulo $8$
$12$ numeros congruentes con $5$ modulo $8$
$12$ numeros congruentes con $6$ modulo $8$
$12$ numeros congruentes con $7$ modulo $8$
$12$ numeros congruentes con $8$ modulo $8$
la estrategia de Alex es primero elegir un numero de congruencia $4$ modulo $8$ luego
si Blas elige un numero congruente con $1$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $3$ modulo $8$
si Blas elige un numero congruente con $2$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $6$ modulo $8$
si Blas elige un numero congruente con $3$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $1$ modulo $8$
si Blas elige un numero congruente con $4$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $8$ modulo $8$
si Blas elige un numero congruente con $5$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $7$ modulo $8$
si Blas elige un numero congruente con $6$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $2$ modulo $8$
si Blas elige un numero congruente con $7$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $5$ modulo $8$
si Blas elige un numero congruente con $8$ modulo $8$ alex elige un numero congruente con $4$ modulo $8$
en cada paso la suma es congruente con $4$ o $0$ modulo $8$ que es una diferencia de cuadrados
y en cada paso Alex deja la misma cantidad de cada numero en cada pareja excepto en la pareja de $2$ y $6$ donde inevitablemente blas eligira el $2$ que sobra y la suma sera congruente a $2$ modulo $8$ que no es diferencia de cuadrados.
Como $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ tenemos que un numero natural se puede expresar como una diferencia de cuadrados si es impar o es múltiplo de $4$, ya que $a-b$ y $a+b$ tienen la misma paridad, entonces si $n$ es impar entonces podemos tomar $n=xy$, con $x,y\in N$ impares, y $a+b=x\wedge a-b=y\implies a=\frac{x+y}{2}\wedge b=\frac{x-y}{2}$; si $n$ es múltiplo de $4$ entonces podemos tomar $n=(2x)(2y)$, con $x,y\in N$, y $a+b=2x\wedge a-b=2y\implies a=x+y\wedge b=x-y$; pero si $n\equiv 2(4)$ entonces en cualquier expresión de $n=xy$ con $x,y\in N$, $x$ e $y$ van a tener distinta paridad ya que uno va a contener al factor $2$ y el otro no, por lo tanto no podemos expresar a $n$ como diferencia de cuadrados si $n\equiv 2(4)$.
Notemos que entre los números naturales menores o iguales a $100$ hay $50$ impares, $25$ múltiplos de $4$ y $25$ congruentes a $2$ en módulo $4$.
Vamos a ver que con esta estrategia Alex se asegura la victoria:
-En su primera jugada Alex debe elegir un número impar cualquiera.
-Mientras aún queden números impares, múltiplos de $4$ y números congruentes a $2$ en módulo $4$ por elegir, Alex debe jugar así:
+Si Blas elige un número impar, Alex en su turno inmediato siguiente debe elegir otro número impar.
+Si Blas elige un número múltiplo de $4$, Alex en su turno inmediato siguiente debe elegir otro número múltiplo de $4$.
+Si Blas elige un número congruente a $2$ en módulo $4$, Alex en su turno inmediato siguiente debe elegir otro número congruente a $2$ en módulo $4$.
-Notemos que siempre tras jugar Alex la suma de todos los números elegidos es impar (con lo cual Alex no pierde) ya que al principio eligió un número impar y después siempre eligió un número con la misma paridad que el que eligió Blas en su turno inmediato anterior.
-Ahora pueden pasar dos cosas: que se acaben los múltiplos de $4$ o los congruentes a $2$ en módulo $4$; o que se acaben los números impares.
-Si se acaban los múltiplos de $4$ (tras una jugada de Blas, ya que hay una cantidad impar de múltiplos de $4$) entonces Alex debe en su jugada inmediata siguiente elegir un número congruente a $2$ en módulo $4$ y seguir jugando como antes (si Blas elige un impar, él también; y si elige un $\equiv 2(4)$, él también). Y viceversa con los números congruentes a $2$ en módulo $4$.
Tenemos que en el momento en que se acaben los números impares (al elegir Blas el último, ya que hay una cantidad par de impares, y Alex al principio eligió un impar) Blas va a perder (si es que no perdió antes), ya que la suma de todos los impares menores a $100$ es $1+3+5+...+99=\sum_{i=1}^{50}(2i-1)=50^2=2500$ que es múltiplo de $4$, pero la suma de todos los pares elegidos hasta ahora es congruente a $2$ en módulo $4$ (ya que se eligieron una cantidad impar de números $\equiv 2(4)$) entonces la suma de todos los números elegidos tras esa jugada de Blas va a ser congruente a $2$ en módulo $4$, por lo tanto Blas pierde.
-Si se acaban los números impares (tras una jugada de Blas, ya que hay una cantidad par de números impares), como ya vimos que la suma de todos los impares menores a $100$ es múltiplo de $4$, y la suma de todos los pares elegidos hasta ahora es múltiplo de $4$ (ya que se eligieron una cantidad par de $\equiv 2(4)$), entonces la suma de todos los números elegidos es múltiplo de $4$, y como ya no quedan imparea, ambos jugados están obligados a partir de ahora a elegir múltiplos de $4$, ya que si eligen un $\equiv 2(4)$ la suma se vuelve $\equiv 2(4)$ y pierden.
Ahora bien, como queda una cantidad impar de múltiplos de $4$ por elegir, Alex simplemete debe elegir los múltiplos de $4$ que quedan, junto con Blas, hasta elegir él el último múltiplo de $4$, y así a Blas le quedan por elegir solo número congruentes a $2$ en módulo $4$, por lo tanto pierde.
Por lo tanto concluimos que es Alex el jugador con la estrategia ganadora.
Alex tiene estrategía ganadora, vamos a ver siempre en mod $4$.
Alex elige un número congruente a $0$
Cada vez que Blas elige un número congruente a $0$, Alex elige uno también en el siguiente turno
Cada vez que Blas elige un número congruente a $1$, Alex elige uno congruente a $3$ en el siguiente turno
Cada vez que Blas elige un número congruente a $3$, Alex elige uno congruente a $1$ en el siguiente turno
Notemos que Blas siempre recibe una suma congruente a $0$ por lo que nunca puede elegir un número congruente a $2$.
Alex puede repetir la jugada hasta que se acaben los números congruentes a $0$, $1$ y $3$. Ya que luego del primer turno de Alex quedan la misma cantidad de números congruentes a $1$ que a $3$ ($25$ de cada uno) y una cantidad par de números congruentes a $0$ ($24$). Una vez que se acaban todos los números congruentes a $0$, $1$ y $3$ va a ser turno de Blas donde no va a tener otra que jugar un número congruente a $2$ pero recordemos que Alex siempre le da Blas una suma congruente a $0$ por lo que Blas pierde.
Alex primero elige el $100$, y después, si Blas eligió $T$, Alex elige $100-T$.
Con Alex la suma siempre queda múltiplo de $100$ y de $4$.
Si Blas eligió $T=50$ perdió porque la suma queda congruente a $50$ en módulo $100$ y entonces a $2$ en módulo $4$.
Alex tiene la estrategia ganadora
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ Notemos que la diferencia entre $a+b$ y $a-b$ es siempre $2b$, por lo tanto par. Entonces, todos los números que se pueden escribir como la multiplicación de dos números con diferencia par son la diferencia de dos cuadrados. Como la diferencia es par, debe ser par por par o impar por impar. Es decir, cualquier múltiplo de 4 y cualquier impar puede ser logrado. Sin embargo, si tenemos un número par pero no múltiplo de 4, el factor 2 va a ir necesariamente en alguno de los factores, ya sea $a+b$ o $a-b$, y entonces uno es par y el otro impar, absurdo. Por eso, ningún número par pero no múltiplo de 4 es la diferencia de dos cuadrados, es decir que si $x\equiv 2\pmod 4 \rightarrow x\neq a^2-b^2$.
Entonces, conviene ver todo en módulo 4. Tenemos 25 números con resto 0, 24 con resto 1, 24 con resto 2 y 24 con resto 3.
Si Alex elige un número con resto 0, Blas no puede elegir un resto 2 porque sino la suma tendría resto 2 y no podría ser una diferencia de cuadrados. Blas puede elegir 1, 3, o 0. Elija lo que elija, Alex siempre va a poder elegir otro resto que haga que la suma total vuelva a ser múltiplo de 4 para el próximo turno de Blas. Si Blas elige 0, Alex también. Si Blas elige 1, Alex responde con 3 y viceversa. De esta manera, va a haber algún momento en el que se acaben los restos 1, 3 y 0. Notemos que el último en poner un numero antes de que se acaben es Alex, porque tenemos una cantidad par de 1 y 3, y una cantidad impar de 0 y por eso Alex comienza con este resto, procurando así que quede una cantidad par. Como el último en poner es Alex, la suma permanece múltiplo de 4 (también lo podemos ver porque $0*25+24*1+24*3\equiv 0 \pmod 4$). Pero ahora, solo le quedan números de resto 2 a Blas, por lo que pierde inevitablemente.
