Selectivo de IMO/IBERO - Puerto Rico - 2018 P5

[Violeta]

$ABCD$ es un cuadrado. $P$ y $Q$ son puntos en el interior del cuadrado, tal que $BP=9, DQ=14, PQ=7$ y además $BP \perp PQ \perp DQ$.

Hallar la medida de los lados del cuadrado.

[Martín Vacas Vignolo]

Están bien esas condiciones de perpendicularidad?

[Violeta]

Están bien esas condiciones de perpendicularidad?

Ahora sí

[Gianni De Rico]

Seguro? Porque así $P$ y $Q$ no quedan los dos adentro de $ABCD$

[Martín Vacas Vignolo]

Claro, mi pregunta no apuntaba por redacción, sino que esas condiciones implican que $BP$ y $CQ$ son paralelos, cosa que no puede ocurrir si $P,Q$ son interiores (salvo que "interiores" incluya a los lados del cuadrado...)

[Violeta]

Claro, mi pregunta no apuntaba por redacción, sino que esas condiciones implican que $BP$ y $CQ$ son paralelos, cosa que no puede ocurrir si $P,Q$ son interiores (salvo que "interiores" incluya a los lados del cuadrado...)

AHORA sí.

[Gianni De Rico]

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Sea $E$ el pie de la perpendicular a $BP$ desde $D\Rightarrow DE=7$, entonces $BD=\sqrt{BE^2+49}$ por Pitágoras y $AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{BE^2+49}$ por la relación entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo isósceles.

Tenemos dos casos
Caso $1$: $B$ y $D$ están en semiplanos opuestos respecto de $PQ$

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Entonces $BE=BP+PE=BP+QD=9+14=23$. Luego, $AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{23^2+49}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{529+49}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{578}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{289\cdot 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}17\sqrt{2}=17.$

El lado del cuadrado mide $17$.

Caso $2$: $B$ y $D$ están en el mismo semiplano respecto de $PQ$

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Entonces $BE=PE-PB=QD-PB=5$. Haciendo las mismas cuentas que antes llegamos a $AB=\sqrt{37}<\sqrt{49}=7<9=BP$, por lo tanto $P$ está afuera del cuadrado.

Este caso no es posible.

Por lo tanto $AB=17$.

[DiegoLedesma]

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Al ser $BP\perp PQ\perp DQ$, se tiene que $BP\parallel DQ$.
Por ser $P$ y $Q$ puntos en el interior del cuadrado, y $\hat{B}$ y $\hat{D}$ ángulos opuestos, se tiene que $B$ y $D$ se encuentran en distintos semiplanos respecto a $PQ$.
Trazamos la diagonal $BD$, que corta a $PQ$ en $E$. Luego de completar ángulos ($A\hat{D}Q=C\hat{B}P=\alpha$, $Q\hat{D}E=P\hat{B}E=45^\circ -\alpha$), se observa que $\bigtriangleup DQE\sim \bigtriangleup BPE$.
Siendo $DQ=14$ y $BP=7$, planteamos la proporción $\frac{14}{9}=\frac{QE}{EP}=\frac{x}{7-x}$, donde $x=\frac{98}{63}=QE$ y $EP=\frac{63}{23}$.
Y por ser $BD$ diagonal del cuadrado (llamando $L$ al lado de dicho cuadrado), tendremos que $\sqrt{2}L=BE+ED=\sqrt{2}\left (\sqrt{9^{2}+\left (\frac{63}{23}\right )^2}+\sqrt{14^2+\left (\frac{98}{63}\right )^2} \right )=17\sqrt{2}$.
$\therefore L=17$.